§4. Взаимное расположение двух прямых

В этом параграфе мы приведем условия параллельности и перпендикулярности прямых, а также формулы, позволяющие найти угол между прямыми.

Пусть даны две прямые

p₁: A₁x+B₁y+C₁=0, p₁: y=k₁x+b₁,

p₂: A₂x+B₂y+C₂=0, p₂: y=k₂x+b₂.

1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарные, или угловые коэффициенты равны:

2. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны:

Это в терминах проекций означает следующее:

Если же прямые заданы в форме уравнений с угловыми коэффициентами, то ии условие перпендикулярности принимает вид:

или .

3. Один из двух углов, которые образуют две пересекающиеся прямые (их сумма равна π), равен углу между нормальными векторами этих прямых, и его косинус может быть найден по известной формуле. Если же мы хотим находить острый угол φ между прямыми, эта формула модифицируется:

В случае задания прямых в форме уравнений с угловыми коэффициентами можно пользоваться и другой формулой:

Пример. Дана прямая p: y=2x+3 и точка M₀(1;2). Через точку M₀ провести: 1)прямую q₁||p; 2) прямую q₂p.

Решение. Зная угловой коэффициент прямой p, а именно: k=2, нетрудно найти угловые коэффициенты прямых q₁ и q₂. Имеем:

k₁=k=2, k₂=.

После этого находим искомые уравнения, как уравнения прямых, проходящих через данную точку и имеющих данные угловые коэффициенты:

q₁: y–2=2(x–1), или y=2x;

q₂: y–2=, или y= –0.5x+2.5.

ЛЕКЦИЯ 7

§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть даны точка M^*(x^*,y^*) и прямая p: Ax+By+C=0. Для определения расстояния d(M^*,p) от точки до прямой имеются различные методы. Два из них изложим схематично.

1) Проводим через M^* прямую . Затем находим точку . Тогда

2) Берем на прямой p две точки M₁ и M₂, т.е. находим два решения уравнения Ax+By+C=0. Затем рассматриваем векторы и и строим на них параллелограмм. Искомое расстояние – это не что иное, как высота параллелограмма, опущенная из вершиныM^* на сторону M₁M₂. Высоту же можно найти через площадь:

3) Этот метод приведет нас к простой формуле, которую полезно запомнить.

Возьмем на прямой p некоторую точку M₀(x₀,y₀). Искомое расстояние есть не что иное, как проекция (вернее, ее абсолютная величина) вектора

на направление

нормального вектора прямойp.

Поэтому имеем:

Тот факт, что означает, чтоAx₀+By₀+C=0 – верное равенство, из которого получим (–Ax₀–By₀)=C. Итак, мы получили полезную формулу для расстояния от точки M^*(x^*,y^*) до прямой p: Ax+By+C=0:

Пример. Две стороны данного квадрата лежат на данных прямых

p₁: 5x–12y–65=0 и p₂: 10x–24y+13=0. Найти его площадь.

Решение. Нормальные векторы иданных прямых коллинеарны (ибо их проекции пропорциональны). Значит, длина стороны квадрата равна расстоянию между этими прямымиd(p₁,p₂). Найдем какую-нибудь точку на одной из прямых, т.е. найдем какое-нибудь решение уравнения, например 5x–12y–65=0. Положим y=0, тогда x=13. Итак, точка Тогда

Искомая площадь квадрата: S=5,5²=30,25.