Метод Крамера

Метод Крамера (Габріель Крамер (1704-1752) ‑ швейцарський математик) застосовують до знаходження розв’язку квадратних систем лінійних рівнянь. В ньому застосовують поняття визначника основної матриці системи і допоміжних визначників, які отримують з визначниказаміною першого, другого і так далі дого стовпця на стовпець вільних членів:

, , …,.

Наприклад, для системи, що містить три лінійних рівняння з трьома невідомими

,

маємо: ,,,.

В залежності від значення визначника основної матриці та значень допоміжних визначників реалізується один з трьох варіантів:

1)	Якщо визначник основної матриці системи (1.8) не дорівнює нулю , то система (1.8) має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера: . (1.10)
2)	Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю і всі допоміжні визначники теж дорівнюють нулю, тоді система (1.8) має безліч розв’язків.
3)	Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників не дорівнює нулю, тоді система не має жодного розв’язку.

Слід зауважити, що метод Крамера для випадку 2 тільки встановлює існування нескінченної множини розв’язків, але не дає їх виду.

Для однорідної системи лінійних рівнянь при система має єдиний розв’язок. Приоднорідна система має безліч розв’язків.

Приклад 1.7.

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера

Розв’язання. Визначник основної матриці системи має вид . Оскільки він відрізняється від нуля, робимо висновок про існування єдиного розв’язку системи.

Обчислимо допоміжні визначники:

, ,.

За методом Крамера згідно формул (1.10) маємо розв’язок:

.

Після знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь рекомендується провести перевірку правильності проведених обчислень.

Перевірка: підстановка у вихідну систему одержаних значень невідомих ,,призводить до тотожностей:що підтверджує правильність отриманого результату.

Метод оберненої матриці

Матричний метод засновано на використанні властивостей множення матриць. Цей метод є дуже зручним у випадку систем невисокого порядку.

Якщо основна матриця системи (1.8) є невиродженою, тобто, тоді для неї існує обернена. Помножимо матричну рівність (1.9) зліва на обернену матрицю:

. (1.11)

З відношення (1.11) з урахуванням відомої формули , а також властивостей множення матриць, а саме, випливає матрична форма розв’язку системи (1.8):

. (1.12)

Співвідношення (1.11) лежить в основі методу оберненої матриці.

Приклад 1.8.

Розв’язати систему лінійних рівнянь з прикладу 1.7 методом оберненої матриці.

Розв’язання. Для основної матриці системи , яка єневиродженою, оскільки , обернена буде такою:

.

Вектор-стовпець вільних членів є таким: . Тоді за формулою (1.12) одержимо:.

Отже, .

Приклад 1.9.

Розв’язати матричним методом систему лінійних рівнянь

Розв’язання. Знайдемо обернену до матриці з визначником:.

Тоді .

Отже, .

Незважаючи на обмеження можливості застосування методу оберненої матриці і складність обчислень при великих значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, матричний метод може бути легко реалізованим на ЕОМ.

Метод оберненої матриці і метод Крамера є дуже трудомісткими за кількістю обчислювальної роботи. Тим часом існують більше економічні методи розв’язання систем лінійних рівнянь, які опираються на попереднє перетворення матриці системи до спеціального виду. Одним із них є метод Гауса, що застосовується не тільки у випадку, коли .