Односторонні границі функції

Лівобічною границею функції називають числоА1 при , за умови, щоx, починаючи з деякого моменту прийматиме значення, які менші за а. Використовують позначення або.

Правобічною границею функції називають числоА2 при , за умови, щоx, починаючи з деякого моменту прийматиме значення, які більші за а. Використовують позначення або.

Приклад 3.5.

Знайти лівобічну і правобічну границі функції при x  2.

Розв’язання. В даному випадку значення границі залежить від того, з якого боку x прямувати до 2. Якщо x прямує до 2 зліва, тобто з боку значень, менших за 2 (), то застосовуємо вираз і .

Якщо x прямує до 2 праворуч, тобто з боку значень, більших за 2, (), то застосовуємо вираз , і .

Функцію називають нескінченно малою при ха, якщо .

Функцію називаютьнескінченно великою при ха, якщо .

Властивості нескінченно малих і нескінченно великих послідовностей притаманні також і нескінченно малим і нескінченно великим функціям.

4. Обчислення границь

4.1. Методи розкриття невизначеностей

Під час обчислення границь функції доводиться зустрічатися з двома різними типами прикладів.

Функція визначена в граничній точці . Тоді.

Приклад 4.1.

Знайти .

Розв’язання. Для знаходження границі цілої раціональної функції потрібно замінити зміннуїї граничним значенням, тобто

.

Функція у граничній точціне визначена або треба обчислити границю функції при .

Тоді обчислення границі в кожному окремому випадку вимагає індивідуального підходу. В одних випадках питання зводиться безпосередньо до застосування теорем про властивості нескінченно малих, в інших – функція у точціабо приє невизначеністю, тобто виразом виглядута ін.

1.	Невизначеність розкривають діленням чисельника і знаменника на найбільший степінь аргументу.

Приклад 4.2.

Знайти .

Розв’язання. Чисельник і знаменник дробу розділимо на :

.

Приклад 4.3.

Знайти .

Розв’язання. Чисельник і знаменник дробу розділимо на :

Приклад 4.4.

Знайти .

Розв’язання. Чисельник і знаменник дробу розділимо на :

.

Щоб розкрити невизначеність , що отримана відношенням двох многочленів, можна скористатися наступним правилом:

якщо старший степінь чисельника більше старшого степеня знаменника, то границя відношення дорівнює нескінченності.

якщо старший степінь чисельника дорівнює старшому степеню знаменника, то границя відношення дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях многочленів.

якщо старший степінь чисельника менше старшого степеня знаменника, границя відношення дорівнює нулю.

Приклад 4.5.

Знайти .

Розв’язання. Старший степінь чисельника 3/2, а знаменника – 2. За вищезгаданим правилом маємо: = 0.

2.	Невизначеність { – } розкривають приведенням до спільного знаменника дробів або позбавленням від ірраціональності в чисельнику.

Приклад 4.6.

Знайти .

Розв’язання. Помножимо і розділимо вираз, що стоїть під знаком границі, на спряжений вираз :

Приклад 4.7.

Знайти .

Розв’язання. Приведемо дроби до спільного знаменника, тоді

.

3.	Невизначеність у разі, коли в чисельнику і знаменнику дробу є многочлени, розкривають шляхом розкладання чисельника і знаменника на множники і скороченням на спільний множник.

Приклад 4.8.

Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Розкладемо чисельник на множники і скоротимо:

.

Приклад 4.9.

Знайти .

Розв’язання. В даному випадку при чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Маємо невизначеність. Розділимо многочлен, що стоїть в чисельнику, нав стовпчик (під кутом):

Розділимо многочлен, що стоїть в знаменнику, на в стовпчик:

Таким чином, маємо:

.

Зауваження.

Ділення в стовпчик (під кутом) називають діленням за алгоритмом Евкліда.

4.	Невизначеність у разі, коли в чисельнику або знаменнику дробу (або і в чисельнику, і в знаменнику) є ірраціональності, розкривають шляхом перенесення ірраціональності в іншу частину дробу.

Приклад 4.10.

Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Перенесемо ірраціональність з чисельника в знаменник, шляхом множення чисельника і знаменника дробу на спряжений вираз вигляду :

.

Приклад 4.11.

Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Перенесемо ірраціональність з чисельника в знаменник і із знаменника в чисельник, шляхом множення чисельника і знаменника дробу на відповідні спряжені вирази:

.