- •Міністерство освіти і науки,
- •Правила оформлення контрольної роботи
- •1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Матриці та дії над ними
- •Дії над матрицями
- •Основні властивості множення матриці на число
- •Основні властивості додавання та віднімання матриць
- •Основні властивості множення матриць
- •Основні властивості транспонування матриці
- •1.2. Визначники та способи їх обчислення
- •Основні властивості визначників
- •Алгоритм обчислення оберненої матриці
- •Властивості обертання невироджених матриць
- •1.3. Системи лінійних рівнянь
- •Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь
- •Метод Крамера
- •Метод оберненої матриці
- •Метод Гаусса
- •Алгоритм прямого ходу методу Гаусса
- •2. Елементи аналітичної геометрії
- •2.1. Векторна алгебра
- •Дії над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •Основні властивості проекцій
- •Дії над векторами в координатній формі
- •Скалярний добуток векторів
- •Основні властивості скалярного добутку векторів
- •Векторний добуток векторів
- •Основні властивості векторного добутку векторів
- •Мішаний добуток векторів
- •Основні властивості мішаного добутку векторів
- •2.2. Пряма на площині
- •Умови взаємного розташування на площині точок і прямих
- •Контрольні питання зі змістового модуля I
- •3. Границя числової послідовності та функції. ОСновні пОняття
- •3.1. Функціональна залежність. Огляд основних елементарних функцій
- •3.2. Границя послідовності та її властивості
- •Основні теореми про послідовності, що збігаються
- •3.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Властивості нескінченно великих послідовностей
- •Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими послідовностями
- •3.4. Границя функції та її властивості
- •Односторонні границі функції
- •4. Обчислення границь
- •4.1. Методи розкриття невизначеностей
- •4.2. Визначні границі
- •4.3. Порівняння нескінченно малих функцій
- •Основні еквівалентності при
- •5. Неперервність функції
- •5.1. Неперервність функції в точці і на відрізку
- •Властивості функцій, які неперервні в точці
- •Властивості функцій, що неперервні на відрізку
- •5.2. Класифікація точок розриву
- •Контрольні питання зі змістового модуля II
- •6. Похідна функції однієї змінної
- •6.1. Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних
- •Правило знаходження похідної
- •Основні властивості похідної
- •6.2. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків
- •3 (Куб), ,,,.
- •6.3. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання
- •6.4. Диференціал функції однієї змінної
- •7. Диференційованість функції багатьох змінних
- •7.1. Частинні похідні та повний диференціал
- •Повний диференціал першого порядку
- •7.2. Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом
- •Контрольні питання зі змістового модуля III
Основні еквівалентності при
Приклад 4.21. |
Довести, що функції іприє нескінченно малими одного порядку. |
Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:
,
Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.
Приклад 4.22. |
Чи є еквівалентними функції іпри? |
Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:
.
Таким чином, функція є нескінченно малою вищого порядку, ніж функція тобто дані функції не є еквівалентними.
Приклад 4.23. |
Довести, що нескінченно малі функції іприє еквівалентними. |
Розв’язання. Очевидно, що . Отже,іприx 0 є еквівалентними.
Приклад 4.24. |
Знайти . |
Розв’язання. При функціяє нескінченно малою. Оскільки при заміні нескінченно малої функціїеквівалентною їй функцієюза теоремою 4.1. границя відношення не зміниться, то
.
Приклад 4.24. |
Знайти . |
Розв’язання. Оскільки при x0 ,а і оскільки за теоремою 4.1 границя відношення не зміниться, то
.
Приклад 4.25. |
Знайти . |
Розв’язання. Тут чисельник і знаменник – нескінченно малі функції, проте, х не є нескінченно малою функцією, оскільки , а не до нуля. Введемо нескінченно малу, тоді. Маємо
.
5. Неперервність функції
5.1. Неперервність функції в точці і на відрізку
|
Функцію , що визначена в деякому околі точки, називаютьнеперервною в точці , якщо:
. |
Наведемо означення неперервності функції, яке є еквівалентним попередньому, і засноване на понятті нескінченно малої величини. Дамо аргументу приріст , тоді функціяотримає приріст.
|
Функцію називаютьнеперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто . |
Зауваження. |
Визначення неперервності функції в точці може бути записане так: , тобто для неперервної функції можлива перестановка символів границі і функції. |
Зауваження. |
Друга умова неперервності функції означає зокрема, що . |
Властивості функцій, які неперервні в точці
1) |
Якщо функції інеперервнів точці , то їх сума , добутокі часткає функціями, неперервнимив точці . |
2) |
Якщо функція неперервнав точці і , тоіснує такий окіл точки , в якому . |
3) |
Якщо функція неперервнав точці , а функціянеперервнав точці , то складна функціянеперервнав точці . |
|
Функцію, яка неперервна в кожній точці деякої області (інтервалу, відрізку), називають неперервною в цій області (в інтервалі, на відрізку). |