Основні властивості транспонування матриці

1)	;
2)	, якщо − діагональна;
3)	;
4)	.

Наприклад, якщо , то.

Приклад 1.3.

Для матриць ,,знайти.

Розв’язання. Запишемо транспоновану матрицю . Тоді

.

5.	Знаходження оберненої матриці

Матрицю , яка задовольняє співвідношенням: , , (1.1) називають оберненою матрицею до матриці .

Зауваження.

Зрозуміло, що матриця повинна бути квадратною, щоб її можна було зліва та справа помножити на.

1.2. Визначники та способи їх обчислення

Квадратній матриці можна поставити у відповідність число, яке називають її визначником (або детермінантом) і позначають: або .

Правило обчислення визначника залежить від його порядку.

Визначником другого порядку називають число, яке обчислюють за правилом: . (1.2)

Згідно формули (1.2) визначник другого порядку дорівнює різниці добутку елементів головної діагоналі і добутку елементів допоміжної діагоналі.

Рисунок 1.1 – Обчислення визначника другого порядку

Наприклад,

Визначником третього порядку називають число, яке обчислюють за правилом: . (1.3)

Визначник третього порядку можна обчислювати різними способами. Наведемо три з них.

1.	Метод трикутників (правило Саррюса)

Якщо елементи визначника позначити точками, то три доданки зі знаком «+» складають з елементів, що лежать на головній діагоналі та у вершинах трикутників, одна з сторін яких паралельна головній діагоналі. Аналогічно співмножники трьох доданків із знаком «» лежать на допоміжній діагоналі і у вершинах трикутників, одна з сторін яких паралельна їй.

Рисунок 1.2 – Метод трикутників

Наприклад, .

2.	Метод дописування стовпців

Праворуч від визначника дописують перші два стовпці. Із знаком «+» записують доданки, співмножники яких містяться на головній діагоналі та на діагоналях, паралельних їй. Доданки із знаком «» утворюють з елементів, що розташовані на допоміжній діагоналі і на діагоналях паралельних їй.

Рисунок 1.3 – Метод дописування стовпців.

Наприклад, .

3.	Метод розкладання (універсальний)

Значення визначника обчислюють як суму добутків всіх елементів рядка (або стовпця) на (-1) в ступені суми індексів елемент4у на визначник, меншого на одиницю порядку, який залишається після викреслювання рядку та стовпця, на перетині яких стоїть елемент.

Для обчислення визначника третього порядку розкладення за першим рядком має вигляд:

Одержані визначники другого порядку знаходять за відомим правилом.

Наприклад, розкладаючи за другим рядком, маємо: 4.

Зауваження. Для розкладання зручно вибирати рядок чи стовпець, в якому є найбільша кількість нульових елементів.

Метод розкладення є універсальним методом обчислення визначників, його можна застосовувати до обчислення визначників будь-якого порядку.

З елементів будь-якої матриці можна скласти різні визначники, зберігаючи порядок елементів матриці.

Мінором порядку називають визначник-го порядку, який утворено з елементів матриці, зберігаючи їх порядок.

Вважають, що

, якщо  квадратна матриця порядку ;

, якщо  прямокутна матриця порядку .

Алгебраїчним доповненням до елементу визначникапорядку називають мінор порядку, побудований з елементів визначника, що залишаються після викреслювання стовпця і рядка з елементом, і помножений на.

Визначники високих порядків обчислюють, знижуючи їх порядок за теоремою Лапласа.

Теорема 1.1. (Лапласа)

Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення: , (1.4) . (1.5)

Метод розкладання є застосуванням теореми Лапласа до обчислення визначника третього порядку.