- •Міністерство освіти і науки,
- •Правила оформлення контрольної роботи
- •1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Матриці та дії над ними
- •Дії над матрицями
- •Основні властивості множення матриці на число
- •Основні властивості додавання та віднімання матриць
- •Основні властивості множення матриць
- •Основні властивості транспонування матриці
- •1.2. Визначники та способи їх обчислення
- •Основні властивості визначників
- •Алгоритм обчислення оберненої матриці
- •Властивості обертання невироджених матриць
- •1.3. Системи лінійних рівнянь
- •Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь
- •Метод Крамера
- •Метод оберненої матриці
- •Метод Гаусса
- •Алгоритм прямого ходу методу Гаусса
- •2. Елементи аналітичної геометрії
- •2.1. Векторна алгебра
- •Дії над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •Основні властивості проекцій
- •Дії над векторами в координатній формі
- •Скалярний добуток векторів
- •Основні властивості скалярного добутку векторів
- •Векторний добуток векторів
- •Основні властивості векторного добутку векторів
- •Мішаний добуток векторів
- •Основні властивості мішаного добутку векторів
- •2.2. Пряма на площині
- •Умови взаємного розташування на площині точок і прямих
- •Контрольні питання зі змістового модуля I
- •3. Границя числової послідовності та функції. ОСновні пОняття
- •3.1. Функціональна залежність. Огляд основних елементарних функцій
- •3.2. Границя послідовності та її властивості
- •Основні теореми про послідовності, що збігаються
- •3.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Властивості нескінченно великих послідовностей
- •Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими послідовностями
- •3.4. Границя функції та її властивості
- •Односторонні границі функції
- •4. Обчислення границь
- •4.1. Методи розкриття невизначеностей
- •4.2. Визначні границі
- •4.3. Порівняння нескінченно малих функцій
- •Основні еквівалентності при
- •5. Неперервність функції
- •5.1. Неперервність функції в точці і на відрізку
- •Властивості функцій, які неперервні в точці
- •Властивості функцій, що неперервні на відрізку
- •5.2. Класифікація точок розриву
- •Контрольні питання зі змістового модуля II
- •6. Похідна функції однієї змінної
- •6.1. Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних
- •Правило знаходження похідної
- •Основні властивості похідної
- •6.2. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків
- •3 (Куб), ,,,.
- •6.3. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання
- •6.4. Диференціал функції однієї змінної
- •7. Диференційованість функції багатьох змінних
- •7.1. Частинні похідні та повний диференціал
- •Повний диференціал першого порядку
- •7.2. Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом
- •Контрольні питання зі змістового модуля III
Дії над матрицями
1. |
Множення матриці на число |
|
Щоб помножити матрицю на число, необхідно на це число помножити всі елементи матриці: . |
Основні властивості множення матриці на число
1) |
; |
2) |
. |
За правилом множення матриці на число індексують економічні показники, приводячи їх до порівнянного виду. Наприклад, щоб виразити запаси тканин в порівнянних цінах, всі значення множать на індекс цін.
Розмірність матриці при множенні її на число не змінюється.
Наприклад, якщо , то.
2. |
Додавання та віднімання матриць |
|
Щоб додати (відняти) дві матриці одного порядку, необхідно додати (відняти) всі відповідні елементи цих матриць (елементи з однаковими індексами): . |
Основні властивості додавання та віднімання матриць
1) |
; |
2) |
; |
3) |
; |
4) |
; |
5) |
; |
6) |
. |
Наприклад, для матриць ірозмірностісума та різниця мають вид:
, .
За допомогою правила додавання матриць формують різноманітні накопичувані відомості та таблиці.
3. |
Множення матриць |
Матрицю можна помножити на матрицюі обчислити добуток матрицьтільки у випадку узгодженості цих матриць.
|
Матрицю називаютьузгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матрицідорівнює кількості рядків матриці. |
Наприклад, матриці іє узгодженими тому, що матрицямістить три стовпці, а матриця‑ три рядки.
Зауваження.
|
Узгодженість матриці з матрицеюне передбачаєвиконання умови узгодженості матриці з матрицею. |
Таким чином, перемножити дві матриці можна тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Узгодження розмірностей матриць-множників і матриці добутку можна подати за допомогою наступної схеми:
Отже, в результаті множення матриці на матрицюодержуємо матрицю, кількість рядків в якій дорівнює кількості рядківматриці, а кількість стовпців ‑ кількості стовпцівматриці, тобто матрицямає розмірність.
Якщо перемножуються квадратні матриці іоднакової розмірності, то їх добутокє матрицею тієї ж розмірності.
|
Щоб знайти елемент добутку, який міститься в-му рядку і-му стовпці, необхідно знайти суму добутків елементів-го рядка матриціна елементи-го стовпця матриці: . |
Основні властивості множення матриць
1) |
; |
2) |
, ; |
3) |
, ; |
4) |
; |
5) |
; |
6) |
; |
7) |
. |
Приклад 1.1. |
Перевірити узгодженість і знайти добуток матриць і, якщо,. |
Розв’язання. Розмірності матриць-множників: ‑,‑. Вони визначають виконання умови узгодженості матриціз матрицею. Тобто добутокіснує і має розмірність. Проведемо обчислення добутку матрицьі:
Зауважимо, що у даному випадку не існує, бо матрицяне є узгодженою з матрицею.
Приклад 1.2. |
Знайти добутки таматриці-рядкаі матриці-стовпця. |
Розв’язання. Очевидно, що матриця узгоджена з матрицею, і навпаки матрицяє узгодженою з матрицею.
;
.
Отже, у першому випадку добуток є матрицею розмірності , а у другому це матриця порядку , тобто скалярна величина.
Зауваження.
|
Добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не випливає, що, або. |
Наприклад, ,, але.
|
Для знаходження цілого додатного степеня квадратної матриціслід знайти добутокматриць: . |
Наприклад, для обчислення , депотрібно знайти добуток.
Зауваження. |
Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць. |
4. |
Транспонування матриці |
|
Щоб транспонувати матрицю , треба поміняти місцями її рядки зі стовпцями. Транспоновану матрицю позначають символом. Якщо вихідна матрицямає розмірність, то розмірність транспонованої матрицібуде. |