Дії над векторами в координатній формі

1)

Координати суми двох векторів дорівнюють сумам відповідних координат цих векторів: .

2)

Координати різниці двох векторів дорівнюють різницям відповідних координат цих векторів: .

3)

Координати вектору дорівнюють координатам вектору, які помножено на число:.

Приклад 2.1.

У просторі задані точки і. Знайти величину проекції векторана вісь, якщо кут між ними складає.

Скалярним добутком векторів іназивають число, що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними:

. (2.4)

1)

;

2)

;

3)

;

4)

скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні:

;

5)

скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

.

Приклад 2.2.

Знайти , якщо

Приклад 2.3.

Знайти кут між векторами і, якщо.

Приклад 2.4.

Знайти кут між векторами і, якщо.

Векторним добутком векторуна векторназивають вектор, що задовольняє умовам:

вектор перпендикулярний кожному із векторіві, отже, площині, в якій вони розташовані;

вектор спрямований так, що, якщо дивитись з його кінця, то найкоротший поворот від першого векторадо другого векторавідбувається проти годинникової стрілки;

довжина вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, який побудовано, на векторахі, як на сторонах:

. (2.10)