Повний диференціал першого порядку

Повний приріст функції (7.1) має вигляд:

, (7.2)

де і– довільні прирости незалежних змінних.

Функцію називаютьдиференційованою в точці , якщо виконуються умови: 1) в точці існують частинні похідні першого порядкуі; 2) повний приріст функції (3.1) в точці можна представити як , (7.3) де іпрямують до нуля при, тобтоіє нескінченно малими приі, або що теж саме при, де– відстань між точкамиі.

З умови 1) існування частинних похідних не завжди випливає умова 2). Функція (7.1) може мати частинні похідні, але не бути диференційованою. Тут порушується аналогія з функцією однієї змінної, для якої наявність похідної забезпечує диференційованість функції.

Теорема 7.2.

(ознака диференційованості функції) Якщо в деякому околі точки функціямає перші частинні похідні, які є неперервними в точці, то функціядиференційована в цій точці.

Якщо функція (7.1) диференційована в точці , то її повним диференціалом першого порядку в цій точці називають величину, лінійну відносноі: . (7.4)

Нехай , тоді. Значить,, отже.

Нехай , тоді. Отже,,.

Тому повний диференціал функції двох змінних можна записати у вигляді:

. (7.5)

Приклад 7.4.

Знайти повний диференціал функції .

Розв’язання. Обчислимо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Частинні похідні є всюди неперервними функціями. Тому функція буде всюди диференційованою. Її повний диференціал має вигляд:

.

7.2. Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом

Похідна складної функції

Нехай і. Тоді з формули (7.5) випливає вигляд похідної від функції однієї змінної

. (7.6)

Це формула повної похідної.

Приклад 7.5.

Знайти повну похідну функції , якщо.

Розв’язання. За формулою (7.6) маємо:

Похідна від неявної функції

Нехай відношення задає неявно функцію. Позначимоі, застосуємо формулу (7.6) і одержимо:

. Тоді при маємо:

. (7.7)

Приклад 7.6.

Знайти похідну функції , заданої відношенням.

Розв’язання. Згідно формули (7.7) одержимо:

.

Похідна за напрямом

Градієнтом функції називають вектор . (7.8)

Градієнт вказує напрямок найбільшого зростання функції.

Похідна функції за напрямомвектора , в точцівиражається формулою: , (7.9) де напрямні косинуси вектора , . (7.10)

Найбільше значення похідної за напрямом дорівнює модулю градієнта, знайденому у відповідній точці :

. (7.11)

Приклад 7.7.

Знайти градієнт і похідну за напрямом, який визначають градієнтом, функції в точці.

Розв’язання. За формулою (7.8) знайдемо градієнт заданої функції у визначеній точці:

В напрямку градієнта функція буде мати похідну: .

Похідна за напрямом, знайдена за всяким іншим напрямом, буде менше знайденого значення.