7. Диференційованість функції багатьох змінних

7.1. Частинні похідні та повний диференціал

Дотепер ми розглядали функції, які мали один аргумент.

Нехай кожній точці з деякої областіплощинивідповідає єдине дійсне значенняза певним правилом: . (7.1) Тоді відповідність (7.1) називають функцією двох змінних, а множину значень , для якої вона має сенс, називають їїобластю визначення функції.

Для функції двох змінних область визначення, взагалі кажучи, є деякою областю площини . А графічне зображення самої функції (7.1) визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в трьохвимірному просторі.

Аналогічно можна ввести в розгляд функцію декількох змінних.

Розглянемо функцію і точкуз області її визначення. Станемо змінювати координату , залишаючи значенняпостійним. В результаті отримаємо функціювід однієї змінної.

Надамо величині приростутаким чином, що точкатеж буде належати області визначення функції (7.1). Складемо різницю

,

яку називають частинним приростом функції (7.1) по аргументу в точці.

Якщо існує скінченна границя , то її називають частинною похідною від функції по її аргументув точці і позначають .

Аналогічно вводимо частинний приріст функції по аргументу в точці:

.

Якщо існує скінчена границя , то її називають частинною похідною від функції по її аргументув точці і позначають .

Правило обчислення частинних похідних: частинні похідні обчислюють за відомими правилами диференціювання функції однієї змінної; при обчисленні вважаютьпостійною величиною; при обчисленніпостійним слід вважати.

Приклад 7.1.

Знайти частинні похідні функцій: а)  ; б); в).

Розв’язання. а) ,;

б) ,;

в) ,.

Геометричний зміст частинних похідних функції :

	Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривоїв точціз віссю.
	Частинна похідна дорівнює тангенсу кута, який утворює дотична до кривоїз віссю.

Крива визначається як перетин поверхніплощиною, а криває перетином цієї поверхні площиною.

Розглянемо функцію змінних.Частинною похідною називають звичайну похідну по зміннійвід функції, яку отримують наданням всім іншим змінним сталих значень.

Приклад 7.2.

Визначити частинну похідну функції за змінною.

Розв’язання. .

Частинні похідні іназиваютьчастинними похідними першого порядку. Вони самі є функціями двох змінних і в свою чергу можуть мати частинні похідні. По відношенню до вихідної функції (7.1) похідні від похідних називають частинними похідними другого порядку. Їх позначають , . Похідні від частинних похідних другого порядку називають частинними похідними третього порядку.

Аналогічно визначають частинні похідні будь-якого порядку. Частинну похідну порядку вище першого по різним змінним називають змішаною.

Приклад 7.3.

Обчислити частинні похідні другого порядку функції .

Розв’язання. Визначимо спочатку частинні похідні першого порядку:

, .

Частинні похідні другого порядку мають вигляд:

, ,,.

Порівнюючи змішані похідні, бачимо, що вони співпадають: . Цей факт не є випадковим.

Теорема 7.1.

(про змішані похідні) Нехай функція має неперервні змішані частинні похідні, тоді.

Справедливим також є наступний факт: дві неперервні частинні похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком виконання операцій диференціювання, але не кількістю цих операцій для кожного з аргументів, будуть рівними між собою.

Таким чином, значення будь-якої змішаної частинної похідної елементарної функції не залежить від порядку диференціювання.

Наприклад,

.