- •Міністерство освіти і науки,
- •Правила оформлення контрольної роботи
- •1. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Матриці та дії над ними
- •Дії над матрицями
- •Основні властивості множення матриці на число
- •Основні властивості додавання та віднімання матриць
- •Основні властивості множення матриць
- •Основні властивості транспонування матриці
- •1.2. Визначники та способи їх обчислення
- •Основні властивості визначників
- •Алгоритм обчислення оберненої матриці
- •Властивості обертання невироджених матриць
- •1.3. Системи лінійних рівнянь
- •Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь
- •Метод Крамера
- •Метод оберненої матриці
- •Метод Гаусса
- •Алгоритм прямого ходу методу Гаусса
- •2. Елементи аналітичної геометрії
- •2.1. Векторна алгебра
- •Дії над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •Основні властивості проекцій
- •Дії над векторами в координатній формі
- •Скалярний добуток векторів
- •Основні властивості скалярного добутку векторів
- •Векторний добуток векторів
- •Основні властивості векторного добутку векторів
- •Мішаний добуток векторів
- •Основні властивості мішаного добутку векторів
- •2.2. Пряма на площині
- •Умови взаємного розташування на площині точок і прямих
- •Контрольні питання зі змістового модуля I
- •3. Границя числової послідовності та функції. ОСновні пОняття
- •3.1. Функціональна залежність. Огляд основних елементарних функцій
- •3.2. Границя послідовності та її властивості
- •Основні теореми про послідовності, що збігаються
- •3.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Властивості нескінченно великих послідовностей
- •Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими послідовностями
- •3.4. Границя функції та її властивості
- •Односторонні границі функції
- •4. Обчислення границь
- •4.1. Методи розкриття невизначеностей
- •4.2. Визначні границі
- •4.3. Порівняння нескінченно малих функцій
- •Основні еквівалентності при
- •5. Неперервність функції
- •5.1. Неперервність функції в точці і на відрізку
- •Властивості функцій, які неперервні в точці
- •Властивості функцій, що неперервні на відрізку
- •5.2. Класифікація точок розриву
- •Контрольні питання зі змістового модуля II
- •6. Похідна функції однієї змінної
- •6.1. Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних
- •Правило знаходження похідної
- •Основні властивості похідної
- •6.2. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків
- •3 (Куб), ,,,.
- •6.3. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання
- •6.4. Диференціал функції однієї змінної
- •7. Диференційованість функції багатьох змінних
- •7.1. Частинні похідні та повний диференціал
- •Повний диференціал першого порядку
- •7.2. Похідна неявної, складної функції. Похідна за напрямом
- •Контрольні питання зі змістового модуля III
Властивості функцій, що неперервні на відрізку
1) |
Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку. |
2) |
Якщо функція неперервна на відрізку, то вонадосягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень. |
3) |
Якщо функція неперервна на відрізку і значення на кінцях відрізку імають протилежні знаки, то знайдеться точка така, що . |
Приклад 5.1. |
Дослідити на неперервність у точці функцію. Побудувати графік функції. |
Розв’язання. У точці функціяне є неперервною, оскільки порушена перша умова неперервності –існування . Графік функції подано на рисунку 5.1.
Рисунок 5.1 – Графік функції
Приклад 5.2. |
Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції. |
Розв’язання. У точці функція не є неперервною, оскільки порушена друга умова неперервності – відсутня границя функції при , що прямує до , тобто. Протеіснують однобічні границі функції ліворуч і праворуч . Границя існувала б у разі рівності однобічних границь. При цьому перша умова неперервності виконана, оскількиіснує і.
Рисунок 5.2 – Графік функції .
Приклад 5.3. |
Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції. |
Розв’язання. У точці функція не є неперервною, оскільки порушена третя умова неперервності – границя функції при х, що прямує до , не дорівнює значенню функції в точці , тобто. При цьому перша умова неперервності виконана, оскількиіснує (), друга умова неперервності виконана, боіснує границя функції при , що прямує до , тобто.
Рисунок 5.3 – Графік функції .
Приклад 5.4. |
Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції. |
Розв’язання. У точці функція неперервна, оскільки виконано всі три умови неперервності: . Графік функції подано на рисунку 5.4.
Рисунок 5.4 – Графік функції .
Теорема 5.1. |
Будь-яка елементарна функція є неперервною на своїй області визначення. |
Зауваження. |
Теорема 5.1 зокрема означає, що ціла раціональна функція (многочлен) є неперервною для всіх . |
5.2. Класифікація точок розриву
|
Якщо хоч би одна з трьох умов означення неперервності функції не виконується, то функцію називаютьрозривною в точці , а точку називають точкою розриву. |
Точки розриву бувають першого, другого роду та усувні.
|
Точку розриву функції називаютьточкою розриву першого роду, якщо існують скінчені однобічні границі функції праворуч і ліворуч при, що не дорівнюють одна одній, тобто . |
|
Точку розриву функції називаютьточкою усувного розриву, якщо границя функції приіснує, але не дорівнює значенню функції в цій точці, тобто . |
|
Точку розриву функції називаютьточкою розриву другого роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції праворуч або ліворуч придорівнює нескінченності або не існує. |
У розглянутих в пункті 5.1 прикладах функції мають такі точки розриву. В прикладі 5.1 в точці маємо розрив другого роду. В прикладі 5.2 в точці‑ розрив першого роду. В прикладі 5.3 в точцімаємо усувний розрив.
Приклад 5.5. |
Дослідити на неперервність у точці функцію . |
Розв’язання. У точці функція не визначена, отже, вона не є неперервною в цій точці. Для з’ясування типу точки розриву знайдемо однобічні границі:
, .
Оскільки одна з однобічних границь нескінченна, то є точкою розриву другого роду.
Зауваження. |
Якщо функція є неперервною всюди, окрім точки, де вона має усувний розрив, то функціюможна зробити неперервною, якщо довизначити її в точці. Функціявже буде неперервною, тобто розрив в точцібуде усунено. |