Властивості функцій, що неперервні на відрізку

1)

Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

2)

Якщо функція неперервна на відрізку, то вонадосягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень.

3)

Якщо функція неперервна на відрізку і значення на кінцях відрізку імають протилежні знаки, то знайдеться точка така, що .

Приклад 5.1.

Дослідити на неперервність у точці функцію. Побудувати графік функції.

Приклад 5.2.

Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції.

Приклад 5.3.

Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції.

Приклад 5.4.

Дослідити на неперервність у точці функцію . Побудувати графік функції.

Теорема 5.1.

Будь-яка елементарна функція є неперервною на своїй області визначення.

Зауваження.

Теорема 5.1 зокрема означає, що ціла раціональна функція (многочлен) є неперервною для всіх .

Якщо хоч би одна з трьох умов означення неперервності функції не виконується, то функцію називаютьрозривною в точці , а точку називають точкою розриву.

Точку розриву функції називаютьточкою розриву першого роду, якщо існують скінчені однобічні границі функції праворуч і ліворуч при, що не дорівнюють одна одній, тобто

.

Точку розриву функції називаютьточкою усувного розриву, якщо границя функції приіснує, але не дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

.

Точку розриву функції називаютьточкою розриву другого роду, якщо хоч би одна з однобічних границь функції праворуч або ліворуч придорівнює нескінченності або не існує.

Приклад 5.5.

Дослідити на неперервність у точці функцію .

Зауваження.

Якщо функція є неперервною всюди, окрім точки, де вона має усувний розрив, то функціюможна зробити неперервною, якщо довизначити її в точці. Функціявже буде неперервною, тобто розрив в точцібуде усунено.