Основні теореми про послідовності, що збігаються

Теорема 3.1.

Послідовність, що збігається, має тільки одну границю.

Теорема 3.2.

Послідовність, що збігається, обмежена.

Теорема 3.3.

Границя алгебраїчної суми скінченого числа послідовностей дорівнює такій же алгебраїчній сумі границь кожної з послідовностей:

.

Теорема 3.4.

Границя добутку скінченого числа послідовностей дорівнює добутку границь цих послідовностей:

.

Теорема 3.5.

Постійну величину можна виносити за знак границі послідовності:

.

Теорема 3.6.

Границя відношення двох послідовностей ідорівнює відношенню границь кожної з послідовностей, якщо:

, .

Теорема 3.7.

Якщо для послідовностей {x_n}, {y_n} починаючи з деякого номера, виконується нерівність , то

.

Теорема 3.8.

(ознака існування границі послідовності) Якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Теорема 3.9.

Якщо для послідовностей {x_n}, {y_n}, {z_n}, починаючи з деякого номера, виконується нерівність і, то послідовність {y_n} збігається і .

Послідовність х_n називають нескінченно малою, якщо , тобто для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) додатного числазнайдеться таке натуральне число, що для всіхбуде виконуватися нерівність.

Зауваження.

Не слід плутати нескінченно малу послідовність з досить маленьким числом. Дуже мала величина постійна, наприклад, 0,0001; 0,00003. Нескінченно мала послідовність – величина змінна і постійно зменшується. Ніяка постійна (окрім нуля) не може вважатися нескінченно малою. Окремі члени нескінченно малої числової послідовності можуть бути скільки завгодно великими.

1)

Нескінченно мала послідовність обмежена.

2)

Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

3)

Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність або на постійне число є нескінченно малою послідовністю.

4)

Добуток скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження.

Відношення двох нескінченно малих величин може бути величиною скінченою, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно малих величин є “невизначеністю” вигляду .

Теорема 3.10.

Для того, щоб послідовність {x_n} збігалася до числа , необхідно і достатньо, щоб послідовність була нескінченно малою.

Послідовність {x_n} називають нескінченно великою, якщо для будь-якого (навіть скільки завгодно великого) числа , знайдетьсятакий номер N, що для всіх буде виконатися нерівність.

Зауваження.

Символ “” не є числом, тому нескінченно великі послідовності границі не мають. Але прийнято говорити, що нескінченно велика послідовність має нескінченну границю, щоб виділити її серед інших послідовностей, які не мають границі, але не є нескінченно великими.

Зауваження.

Не слід плутати поняття дуже великої величини і нескінченно великої послідовності. Дуже велика величина є постійною, наприклад 1000000, 10010. Нескінченно велика – змінна.