Властивості обертання невироджених матриць

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	.

Приклад 1.4.

Знайти обернену до матриці .

Розв’язання. Визначник матриці відрізняється від нуля:

.

Отже матриця є невиродженою і обернена до неї існує. Знайдемо алгебраїчні доповнення до кожного елементу вихідної матриці:

, ,,.

За формулою (1.6) можемо записати: .

Перевірка підтверджує правильність проведених обчислень:

,

Приклад 1.5.

Знайти обернену до матриці .

Розв’язання. Вихідна матриця є не виродженою, оскільки. Обчислимо алгебраїчні доповнення:

За формулою (1.7) маємо:

, отже .

Рангом матриці розмірності називають найбільший порядок відмінного від нуля мінору матриці і позначають. Ненульовий мінор матриці, що визначає її ранг, називають базисним.

Ранг матриці визначається порядком ненульового мінору, а не його значенням. Якщо , то це означає, що існує хоча б один відмінний від нуля мінор порядку, а всі мінори порядку, більшого від дорівнюють нулю. Зрозуміло, що .

1.3. Системи лінійних рівнянь

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають сукупність лінійних рівнянь відносноневідомих: (1.8) де  невідомі змінні,  коефіцієнти при невідомих,  вільні члени .

Якщо всі вільні члени дорівнюють нулю , то систему лінійних рівнянь (1.8) називаютьоднорідною. У протилежному випадку, тобто коли не всі вільні члени нульові, систему (1.8) називають неоднорідною.

Випишемо основну матрицю системи: , яка складається з коефіцієнтів при невідомих; матрицю-стовпець вільних членів: ; матрицю-стовпець невідомих:.

Використовуючи дії над матрицями, систему рівнянь (1.8) можна записати у матричній формі

. (1.9)

Розв’язком системи лінійних рівнянь (1.8) називають таку сукупність чисел , яка перетворює всі рівняння (1.8) в числові тотожності.

Загальний розв’язок системи передбачає вираз основних невідомих через вільні. Частинний розв’язок одержують із загального наданням вільним змінним певних значень

Розширена матриця системи (1.8) або (1.9) складається з матриці і стовпця вільних членіві має вигляд (для зручності стовпець вільних членів у розширеній матриці відділяють вертикальною лінією):

.

Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Систему називають визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок, і невизначеною, якщо система має більше одного розв’язку.

Однорідна система завжди є сумісною, оскільки завжди має нульовий розв’язок.

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

1)	додавання до обох частин рівняння відповідних частин другого, помножених на одне число;
2)	переставлення рівнянь місцями;
3)	виключення з подальшого розгляду рівнянь, що є тотожностями для всіх значень невідомих змінних.

Ці елементарні перетворення не змінюють сумісності і розв’язку системи лінійних рівнянь.

Умову сумісності системи лінійних рівнянь характеризує теорема Кронекера-Капеллі (Леопольд Кронекер (1823-1891) ‑ німецький математик).

Теорема 1.4. (Кронекера-Капеллі)

Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь (1.8) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи (1.8) дорівнював рангу розширеної матрицісистеми (1.8).

Приклад 1.6.

Перевірити сумісність системи рівнянь

Розв’язання. Випишемо основну та розширену матриці системи лінійних рівнянь: , .

З елементів цих двох матриць можна скласти базисний мінор третього порядку, що не дорівнює нулю: .

Отже, і. Тобто. За теоремою Кронекера-Капеллі досліджувана система лінійних рівнянь є сумісною.

Частинним випадком прямокутної системи (1.8) є квадратна система рівнянь . Тоді матриця системиє квадратною:

,

а її визначник називаютьосновним визначником системи.