3 (Куб), ,,,.

Відповідним буде й порядок диференціювання:

.

Зауваження.

Слід запам’ятати, що на кожній стадії диференціюється тільки один вид функції.

Приклад 6.4.

Визначити похідну функції .

Розв’язання. За правилом диференціювання складної функції та за таблицею похідних маємо:

.

6.3. Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання

Розглянемо функцію, задану параметрично:

Нехай функції ідиференційовані і, тоді похіднамає вигляд:

. (6.2)

Приклад 6.5.

Знайти похідну функції, заданої параметрично.

Розв’язання. За формулою (6.2) маємо:

.

Нехай функцію задано неявно відношенням:

Для знаходження похідної потрібно продиференціювати, вважаючифункцією аргументу.

Приклад 6.6.

Знайти похідну функції, яку задано неявно відношенням

Розв’язання. Продиференціюємо рівняння, що задає функцію :

.

Винесемо за дужки:

,

Тоді похідна

.

Нехай функцію задано у виглядідля знаходження похідної доцільно провести попереднє логарифмування функції, а потім знайти похідну неявної функції:

,

,

.

Це формула логарифмічного диференціювання.

Приклад 6.7.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Прологарифмуємо рівність: та визначимо похідну неявної функції.

Тоді , тобто.

Зауваження.	Логарифмічне диференціювання застосовують, коли функція є добутком багатьох множників.
Приклад 6.8.	Знайти похідну функції .

Розв’язання. Знайдемо логарифм функції :

.

Визначимо похідну отриманої неявної функції:

Отже, .

6.4. Диференціал функції однієї змінної

Нехай функція має похідну в точці, тобто існує границя (6.1). Тоді (6.1) можна записати наступним чином:

, (6.3)

де – нескінченно мала величина, тобтопри.

З відношення (6.3) випливає, що приріст функції у точціможна записати у вигляді:

. (6.4)

Диференціалом функції в точці називають головну лінійну частину приросту функції. Його позначають . (6.5)

Приклад 6.9.

Знайти диференціал функції .

Розв’язання. З формули (6.5) маємо: .

Отже, доведено рівність

. (6.6)

За допомогою відношення (6.6) рівняння (6.5) стає таким:

. (6.7)

Форма запису (6.7) диференціала функції дозволяє представити похідну як відношення диференціала функції до диференціала аргументу:

. (6.8)

Геометричний зміст диференціала

Побудуємо на площині графік функції. В точціпроведемо дотичнудо графіка функції (рис. 6.6).

Рисунок 6.6 – Ілюстрація геометричного змісту диференціала

З трикутника маємо:.

Таким чином, диференціал функції в точцідорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в точці.

Нехай – стала величина,і– диференційовані в точціфункції, тоді безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості.

Властивості диференціала:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	;
5)	.

Інваріантність форми диференціала першого порядку

Нехай і– диференційовані функції. Розглянемо диференціал складної функції:

. (6.9)

Формула (6.9) доводить цікавий факт: форма запису диференціала не залежить від того, чи буденезалежною змінною або функцією іншої змінної.

У зв’язку з цим цю властивість називають інваріантною формою запису диференціала.

Приклад 6.9.

Знайти диференціали функцій ,,.

Розв’язання. За визначенням диференціала маємо:

, ,.