Правило знаходження похідної

1)	надамо значенню довільного приросту;
2)	обчислимо приріст функції ;
3)	складемо відношення ;
4)	знайдемо границю цього відношення при :.

Приклад 6.1.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. За допомогою правила знаходження похідної аргументу надамо приросту, тоді приріст досліджуваної функціїскладе

.

Відношення приросту функції до приросту аргументу має вигляд:

.

Границя цього відношення при і становить похідну функції:

.

Теорема 6.1.

(зв’язок між диференційованістю та неперервністю функції) Якщо функція в точцідиференційована, то неперервна в цій точці.

Зауваження.

З неперервності функції не впливає її диференційованість. Наприклад, функція є неперервною, але не диференційованою (рис. 6.5).

Рисунок 6.5 – Графік неперервної недиференційованої функції.

Основні властивості похідної

1)	Сталий множник можна винести за знак похідної: .
2)	Похідна від алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідній цих функцій: .
3)	Похідну добутку двох диференційованих функцій обчислюють за формулою: .
4)	Похідна частки двох диференційованих функцій дорівнює , якщо .
5)	Похідна складної функції: Нехай – складна функція. Якщомає похідну в точці, амає похідну у відповідній точці, то складна функція має похідну в точці: .
6)	Похідна оберненої функції: Нехай для диференційованої функції існує обернена, яка теж є диференційованою функцією. Тоді їхні похідні пов’язані відношенням: .

6.2. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків

Таблиця похідних основних елементарних функцій:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4) ,	8)	12)

Нехай функція диференційована на деякому проміжку. Похіднуназиваютьпохідною першого порядку або першою похідною функції . Якщо перша похіднає диференційованою функцією на проміжку, то її похідну називаютьдругою похідною або похідною другого порядку функції і позначають.

Аналогічно вводять поняття похідної п-го порядку:

,

де – натуральне число.

Отже, похідна від похідної – це похідна другого порядку . Похідну третього порядку позначають таким чином:і т.д.

Похідні порядку вище першого називають похідними вищих порядків.

Якщо – закон прямолінійного руху матеріальної точки, то‑ це прискорення цієї точки в момент часу. В цьому полягає фізичний зміст другої похідної.

Приклад 6.2.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Диференціюємо спочатку тангенс, враховуючи, що роль проміжного аргументу виконує . Одержимо. Тепер подумки закреслимо значок «» і бачимо перед собою вираз. Диференціюємо корінь:і потім подумки закриваємо значок кореня. Залишається. Диференційований логарифм (проміжним аргументом є):. Після викреслювання значка «» залишається, що при диференціюванні дає. Тепер похідназапишеться у вигляді добутку всіх проміжних результатів диференціювання:

Приклад 6.3.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. Порядок уявного закреслювання наступний: