Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Met_VM_1_3.doc

Скачиваний:

582

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

5.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Властивості нескінченно великих послідовностей

1)	Сума нескінченно великої послідовності і обмеженої є нескінченно великою послідовністю.
2)	Сума нескінченно великих послідовностей однакового знаку є нескінченно великою послідовністю.
3)	Добуток нескінченно великих послідовностей є нескінченно великою послідовністю.
4)	Добуток нескінченно великої послідовності на постійну величину, що не дорівнює нулю, є нескінченно великою послідовністю.
Зауваження.		Відношення двох нескінченно великих величин може бути величиною скінченою, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно великих величин є “невизначеністю” виду .

Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими послідовностями

Теорема 3.11.

Якщо {x_n} – нескінченно мала послідовність, то – нескінченно велика послідовність. І навпаки, якщо {y_n} – нескінченно велика послідовність, то – нескінченно мала послідовність.

3.4. Границя функції та її властивості

Розглянемо функцію , визначену на деякому проміжку . Нехай аргумент х приймає послідовність значень х₁, х₂,…, х_n,…, де . Відповідні значення функції утворюють послідовністьу₁, у₂,…, у_n,..., де .

Означення границі функції за Гейне:

Число А називають границею функції при(або в точціх₀), якщо для довільної послідовності {x_n}, що збігається до х₀, відповідна послідовність значень функції {y_n} збігається до А.

Позначення: , абопри.

Означення границі функції за Коші:

Число А називають границею функції прих, що прямує до х₀, якщо для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти таке число, що як тільки, то виконується нерівність

. (3.2)

Означення границі функції за Гейне і за Коші є еквівалентними.

Геометрична інтерпретація границі функції за Коші

Нехай дано графік функції , яка має границю, що дорівнює числу А при (рис.3.1.1). Для будь-якого наперед заданого додатного числа знайдеться окіл точки а радіусу такий, що частина графіка функції , що відповідає околу (а –, а + ), міститься усередині смуги, обмеженої прямими у = А –, у = А +. Відзначимо, що в точці а функція може приймати значення, яке не дорівнює А, або взагалі може бути не визначена.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація границі функції

Теорема 3.12.

Якщо функція має границю, то вона (границя) є єдиною.

Теорема 3.12 виходить з теореми 3.1, оскільки послідовність, що збігається, може мати тільки одну границю.

Приклад 3.4.

Довести, що .

Розв’язання. Візьмемо яке-небудь число . Завдання полягає в тому, що за заданим числомзнайти таке, для якого з нерівностівипливала б нерівність або .

Після перетворення останньої нерівності, отримаємо

або .

Таким чином, якщо узяти , то для всіх х, що задовольняють нерівність буде виконуватися нерівність. Це означає, що .

Наприклад, якщо , то ; якщо , то , і т.д.

Теорема 3.13.

(ознака існування границі функції) Якщо в деякому околі точки а для трьох функцій виконується нерівність , і, то.

Границя функції на нескінченності і нескінченні границі

Число А називають границею функції при , якщо для будь-якого можна знайти числотаке, що при, виконується нерівність. Позначення:.

Функція має своєю границею при , якщо для будь-якого можна знайти числотаке, що при всіх, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність. Позначення:.