3.2. Границя послідовності та її властивості

Першу спробу створити теорію границь зробив Ньютон у 1686 р., хоча операція граничного переходу застосовувалася і раніше, починаючи із старогрецьких учених. Близьке до сучасного поняття границі сформулював у 1765 р. французький математик і філософ Ж. Даламбер.

Якщо кожному натуральному числу поставлене у відповідність деяке дійсне число х_n, то говорять, що задано послідовність чисел х₁, х₂, …, х_n, … Інші позначення: {х_n}, х_n.

Числовою послідовністю , (n = 1, 2,...) називають множину значень функції , яку визначено на множині натуральних чисел.

Числа х₁, х₂,… називають членами (елементами) послідовності, – загальним членом послідовності, n – номером члена послідовності.

Наприклад, розглянемо послідовність . Загальний член її ‑. Перші п’ять членів такі:х₁ = 1, х₂ = ,х₃ = ,х₄ = ,х₅= .

Наприклад, членами послідовності є числа

Прикладом послідовності є нескінченно спадаюча геометрична прогресія , де.

Число а називають границею послідовності {х_n}, якщо для будь-якого наперед заданого (навіть скільки завгодно малого) числа знайдеться такий номер, що для всіх буде виконуватися нерівність

. (3.1)

Для позначення границі послідовності {х_n} використовується запис: = а, або при .

Інтервал виду , де, називають-окілом точки а.

Геометрична інтерпретація границі послідовності. Якщо а – границя послідовності {х_n}, то для будь-якого (навіть скільки завгодно малого) можна знайти такий номер, що при всі члени послідовності попадуть в -окіл точки а. Інакше кажучи, для будь-якого околу з центром в точці а, навіть скільки завгодно малого радіусу , знайдеться таке значення х_n, що точки, що зображають ці значення, і всі подальші значення послідовності {х_n}, потраплять в цей окіл (рис.3.1). Таким чином, зовні -околу точки а може лежати лише скінчене число членів послідовності {х_n}.