2. Интегральное исчисление

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной функции f ′(x) для заданной функции

f (x) . В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F(x) ,

что F′(x) = f (x) . Таким образом, основной задачей интегрального

исчисления является восстановление функции по известной ее производной.

2.1. Неопределенный интеграл

Первичными понятиями интегрального исчисления являются понятия первообразной и неопределенного интеграла.

2.1.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла

Определение 2.1. Функция F (х) называется первообразной для

причем равенства (2.1) и (2.2) выполняются для всех x (a;b) .

Аналогичным образом определяется первообразная для других промежутков вида (−∞,+∞), [a,b], понимая в последнем случае

односторонние производные.

Задача об отыскании первообразных решается неоднозначно. Действительно, если функция f (х) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных вида F (х) + С, где С – произвольная постоянная, так как

(F(x) +C)′ = (F(x))′ = f (x) .

Более того, если F(x) и Ф (x) ― две первообразные для f (x) на (a;b) , то для всех x (a;b) выполняется равенство

F(x) – Ф (x) ≡ C ,

32

где C ― некоторая фиксированная постоянная. Другими словами, если F (х) есть первообразная для f (х), то множество вида F (х)+С, где С – произвольная постоянная, описывает все первообразные для данной функции.

Определение 2.2. Совокупность всех первообразных для функ-

где С – константа. В записи (2.3) символ «∫» называется интегралом, f (x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

С геометрической стороны, неопределенный интеграл ― это однопараметрическое семейство кривых y = F(x) +C (С – пара-

метр семейства), обладающих свойством: все касательные к кривым в одной точке x параллельны между собой.

Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием функции. Так как эта оп е- рация является обратной для операции дифференцирования, то верность интегрирования проверяется дифференцированием функции, полученной в результате решения.

2.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Справедливы следующие свойства неопределенного интеграла:

1) производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f (x)dx)′ = f (x) (или d(∫ f (x)dx) = f (x)dx );

33

2) интеграл от производной некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

∫F′(x)dx = F(x) +C (или ∫ d(F(x)) = F(x) +C ).

(Свойства 1 и 2 говорят, что операции « ′» и «∫» взаимно сокращаются, если отвлечься от постоянного слагаемого во второй формуле).

3)неопределенный интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов:

∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx

4)постоянный множитель, отличный от нуля, можно выносить за знак интеграла:

∫ kf (x)dx = k∫ f (x)dx

2.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее была получена таблица производных простейших элементарных функций, которые составили основу вычислительного аппарата в дифференциальном исчислении. Так как интегрирование есть в известном смысле операция, обратная к дифференцированию, то таблица интегрирования в принципе может быть получена путем обращения таблицы дифференцирования. Например, в

следующую таблицу основных интегралов:

34

1)∫ 0dx = C;

2)∫ 1dx = x +C;

6)∫ sin xdx = −cos x +C ;

7)∫ cos xdx = sin x +C ;

ляется элементарной функцией, то говорят, что интеграл ∫ f (x)dx

выражается в элементарных функциях. Отметим, что операция дифференцирования не выводила нас из класса элементарных

35