Обычно, этими дополнительными условиями являются так называ-

емые начальные условия

Нахождение решения y =φ (x), удовлетворяющего начальным

условиям, называется решением задачи Коши для заданных начальных условий.

3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Наиболее простой класс уравнений составляют дифференциальные уравнения первого порядка.

3.2.1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения

Из соотношений (3.1) и (3.2) при n =1 имеем дифференциальное уравнение первого порядка

где F − известная функция трех переменная, определенная в некоторой области D R3 , x − независимая переменная, y = y(x) − искомая функция, y′− ее производная, или в разрешенном относительно y′ виде

где f − известная функция двух переменных, определенная в не-

которой области D R2 , x − независимая переменная, y = y(x) −

искомая функция. Уравнение (3.5) всегда можно записать в дифференциалах, где переменные x и y равноправны:

Здесь P(x, y) и Q(x, y) − известные функции, заданные в области D , причем P2 (x, y) +Q2 (x, y) ≠ 0. Запись (3.6) получится из

(3.5), если положить y′ = dydx ; а из записи (3.6) легко получить за-

79

пись (3.5), если разделить (3.6) на Q(x, y) . Надо помнить только,

уравнения (3.5) или (3.6) , для которого при заданных начальных условиях (x0 , y0 ) D выполняется равенство y0 =φ(x0 ) или

x0 =ψ (y0 ) , называется решением задачи Коши для начальных

условий (x0 , y0 ) D .

Таким образом, геометрическое содержание задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через за-

данную точку M0 (x0 , y0 ) D . В некоторых случаях решение зада-

чи Коши является не единственным. Следующая теорема указывает одно из достаточных условий, которое гарантирует существование и единственность решения задачи Коши.

Теорема 3.1 (Коши). Пусть функция f (x, y) определена, не-

ряющее условию y(x0 ) = y0 , (x0 , y0 ) D .

80

Таким образом, общее решение дает возможность решить задачу Коши для любых начальных условий (x0 , y0 ) D , где в D

имеет место теорема Коши.

Определение 3.7. Любое решение, полученного из общего при фиксированном значении C0 G , называется частным решением.

3.2.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 3.8. Дифференциальное уравнение первого порядка y′ = f (x, y) или P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 называется уравне-

нием с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:

Для решения уравнений (3.8) и (3.9), соответственно, прибегают к методу разделения переменных, для чего левую и правую часть уравнений (3.8) и (3.9) умножают на такой множитель, чтобы после упрощения при dx стояла функция, зависящая только от x , а при dy стояла

лучается уравнение с разделяющимися переменными, а именно:

После интегрирования последних уравнений получится решение уравнения (3.8) и (3.9), записанное в виде:

82

Пример 3.1. Проинтегрировать уравнение y′ = tgx tgy .

3.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 3.9. Дифференциальное уравнение вида

A(x)y′+ B(x)y +C(x) = 0,

где A(x) ≠ 0, или после деления на A(x) , приведенное к виду

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

83

Пример 3.3. Решить дифференциальное уравнение

(1+ x2 )y′−2xy = (1+ x2 )2

и найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(−2) = 5 .

Решение. Разделив обе части уравнения на 1+ x2 ≠ 0 , получим линейное неоднородное дифференциальное уравне-

84