Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

4.Ряды

1.Что называется числовым рядом?

2.Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3.Какой числовой ряд называется сходящимся?

4.Какой числовой ряд называется расходящимся?

5.Какое число называется суммой числового ряда?

6.Приведите примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов.

7.Что называется остатком числового ряда?

8.Перечислите свойства сходящихся рядов.

9.Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

10.Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными числами: признаки сравнения, признак Даламбера, признак Коши и интегральный признак.

11.Какой числовой ряд называется знакопеременным?

12.Дайте определение абсолютной и условной сходимости.

13.Сформулируйте признак Лейбница сходимости числового знакочередующегося ряда.

14.Дайте определение функционального ряда и его сходимости.

15.Какой ряд называется степенным?

16.Сформулируйте признак Абеля.

17.Что называется интервалом, радиусом и областью сходимости степенного ряда?

18.Запишите формулы для вычисления радиуса сходимости сте-

∞

пенного ряда ∑an xn .

n=1

19.Как определяется ряд Тейлора функции f (х) в точке х0?

20.Как определяется ряд Маклорена функции f (х)?

21.Выпишите разложения в ряд Маклорена основных элементар-

ных функций f (х) = ех, f (х) = sin x, f (х) = cos x, f (х) = ln (1 + x), f (х) = (1 + x)α и укажите области сходимости этих рядов.

22. Перечислите области применения степенных рядов к приближенным вычислениям.

151

Тренировочноезадание №4

Найти сумму ряда

+...

по определению.

1 3

3 5

5 7

Пользуясь необходимым признаком сходимости ряда, уста-

новить, сходятся или расходятся следующие ряды:

а) ∑ 2n −1 ;

б) ∑ n −1 ;

в) ∑ 1 .

∞

n=1 n

n=1

5n + 2

n=1

n + 2

3. Пользуясь признаками сравнения, исследовать на сходи-

мость следующие ряды:

∞

а) ∑

;

б) ∑

;

1+ 25

ln(n + 2)

n=1

∞

−1

∞

n +1

в) ∑

;

г) ∑

n=1

+2n +1

n=1

+ n −1

4. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходи-

мость следующие ряды:

∞

2n −1

∞

2n +1

а) ∑

;

б)

∑

;

в) ∑

;

г)

∑

3n + 2

n=1

Пользуясь признаком

Коши,

исследовать

на

сходимость

∞

n +1

∞

−n +1

следующие ряды:

а)

∑

;

б)

∑

+ n + 2

n=1

Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходи-

∞

мость следующие ряды:

а)

∑

;

б)

∑

1+ n

n=1

+ 4

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

∞

(−1)

∞

(−

∞

2n +1

а) ∑

;

б) ∑

;

в) ∑ (−1)n

n=1

(2n +1)!

n=1

3n +5

152

8. Найти радиус, интервал и область сходимости следующих степенных рядов:

∞

(x +1)

а) ∑ n!(x −1)n ; б)

∑

;

в) ∑

; г) ∑

n=1

9. Пользуясь известными разложениями элементарных функций в степенные ряды, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

а)	f (x) = x3e−x ;	б)	f (x) = sin 3x ;

в)	f (x) = 1− x3 ;	г)	f (x) = ln(x + 2) .

10. Пользуясь соответствующими степенными рядами, вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

а)	∫1	sin x dx ;																						б)					1			.
																																.
																													4
	0		x																												e
	Решение тренировочного задания №4
1.	Найдем частичную сумму Sn																												данного ряда:
						Sn				=				1		+			1			+		1				+... +											1						.
						Sn				=		1 3				+		3 5				+						+... +						(2n −1)(2n +1)											.
												1 3						3 5						5 7										(2n −1)(2n +1)
Поскольку														1									=		1					1					−		1						, то

								(2n −1)(2n +1)																	2				2n −1							2n +				1
								(2n −1)(2n +1)																	2				2n −1							2n +				1
Sn =			1		1		1						1 1						1					1 1						1				+...+				1					1		−		1		=
						−					+						−				+								−
			2		1	−	3				+					3	−		5		+			2			5		−	7								2				2n		−1
			2		1		3						2			3			5					2			5			7								2				2n		−1			2n +1
	1				1		1					1				1			1										1							1							1				1
=		1−				+				−				+			−				+...+												−						=					1	−			.
=	2	1−			3	+	3			−		5		+		5	−		7		+...+					2n −1							−		2n +1				=				2	1	−			.
	2				3		3					5				5			7							2n −1									2n +1								2			2n +1
Тогда сумма ряда
S = lim				1							1							1											1							1			0				1	.
					1−										=					−lim															=		−				=
				2	1−										=			2		−lim					2(2n +1)										=	2	−				=		2
	n→∞			2					2n +1									2				n→∞			2(2n +1)											2							2
																								153

−

2n −1

∞ = lim

2 − n

= 2 .

2а) Найдем

lim

= lim

n→∞ 5n

n→∞

∞ n→∞

Поскольку

lim a

2 ≠ 0 ,

то по следствию из необходимого

n→∞

признака сходимости, данный ряд расходится.

−

= lim n −1 =

∞ = lim

n 1

1− n

2б) Найдем lim a

= lim

=1 ≠ 0 .

n→∞

n→∞ n +1

1 n→∞

∞ n→∞

n 1

Поэтому данный ряд расходится.

2в) Найдем lim a

= lim 1 = 0 . Необходимый признак сходимо-

n→∞

n→∞ n

сти выполняется, но не дает ответа о сходимости исходного ряда. Данный ряд – гармонический, доказано, что он расходится. Если

lim an = 0 , то ряд может как сходиться, так и расходиться; выяс-

n→∞

нять этот вопрос нужно, пользуясь другими признаками сходимости.

∞

3а) ∑

+ .

1+ 25

626

n=1

Заметим, что

, n = 1, 2, 3, … . Поскольку

1+ 25n

25n

больший

ряд

∞

есть

сходящийся геометрический

ряд

∑

n=1

∑∞

qn (

<1), то

по

первому

признаку сравнения меньший

ряд

n=1

∞

сходится.

∑n=1 1+25n

154


			∞	1				1			1			1	> 1
	3б)		∑	1		=		1		+	1		+ . Заметим, что	1			,
	3б)		∑	ln(n + 2)		=				+			+ . Заметим, что				,
			n=1	ln(n + 2)				ln 3 ln 4						ln 3 3
1		1		1				1						∞	1
1		1		1				1							1
	>		, …,				>					, ... . Поскольку меньший ряд ∑n=1
ln 4	>	4	, …,		ln(n + 2)		>		n + 2			, ... . Поскольку меньший ряд ∑n=1				n + 2

расходится (это ряд, полученный из расходящегося гармоническо-

го ряда

∞

отбрасыванием первых двух членов), то по первому

∑n=1

признаку сравнения больший ряд

∞

также расходится.

∑n=1 ln(n

+ 2)

∞

−1

3в) Сравним исходный ряд ∑an =∑

с расходящим-

n=1

+2n +1

ся гармоническим рядом

∞

1 , используя признак сравне-

∑bn =∑

n=1

ния в предельной форме. Вычислим

−1

−n

∞

lim

= lim

+ 2n −1

+2n −1

n→∞ b

n→∞

n→∞ n

∞

3 −

= lim

= 3.

n→∞

−

Поскольку lim an = L , L ≠ 0 , L ≠ ∞ , то по признаку сравнения в

n→∞ bn

предельной форме оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Ряд ∑∞ 1 расходится, значит, исходный ряд также расходится.

n=1 n

155

∞

n +1

3г) Сравним исходный ряд ∑an

=∑

со сходящимся

n=1

+ n −1

∞

рядом

∑bn =∑

(ряд Дирихле

∑

сходится,

если р > 1 и

n=1

расходится, если р ≤ 1). Находим

n +1

∞

L = lim

= lim

+n −1

= lim

−1

n→∞ b

n→∞

∞

1+ n

. Поскольку L ≠ 0 , L ≠ ∞ , то

= lim

n→∞

−

∞

ряды

∑an

∑bn

сходятся или расходятся одновременно. Ряд

n=1

∞

∑bn сходится, значит, исходный ряд также сходится.

n=1

4а) Найдем l = lim

n+1 ,

где an =

. Имеем

n→∞

n+1

3 n!

l = lim

= lim

= 0 .

+1)!

n→∞ (n

n→∞ n!(n +1)3n

n→∞ n +1

Поскольку l < 1, то по признаку Даламбера ряд сходится.

4б) Здесь

an+1 =

4n+1

. Находим

n3n

(n +1)3n+1

l = lim

n+1

= lim

4n+1 n 3n

= lim

4n4n

(n +1)3n+14n

n→∞

n→∞ (n +1)3n3 4n

lim

∞

lim

n 1

lim

3 n→∞ n +1

∞

3 n→∞

n 1

Поскольку l > 1, то ряд расходится.

156

4в) Здесь an =

2n −1

an+1 =

2(n +1)−1 2n +1

. Тогда

3n +

3(n +1)+2

3n +5

l = lim

= lim

(2n +1)(3n +2)

= lim

6n2 +7n + 2

∞

n+1

(3n +5)(2n −1)

+7n −5

n→∞

∞

6 +

= lim

=1.

n→∞

−

n→∞

6 +

−

Поскольку l = 1, то признак Даламбера не дает ответа о сходи-

мости данного

ряда. Замечая,

что

lim a

= lim

2n −1

= 2

≠ 0 , за-

3n + 2

n→∞

ключаем, что по следствию из необходимого признака сходимости ряд расходится.

(n +1)!

. Находим

4г)

Здесь a

2n +1

n+1

2n +3

3n+1

(n +1)!

(n +1)n!

l = lim

n+1

= lim

2n +3

= lim

2n +3

n→∞

3n+1 n! 2n +1

n→∞

3n 3 n! 2n +1

1 lim(n +1)

lim

2n +3

∞ 1 = ∞.

3 n→∞

n→∞

2n +1

Так как l > 1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

5а)

Здесь a

1 n

. Для применения признака Коши

сходимости числового ряда найдем

n +1

n +1 n

1 n

l = lim n a

= lim n

= lim

e .

lim 1+

n→∞

2 n→∞

Поскольку

e ≈ 2,72 ,

то l >1.

Значит,

по признаку Коши ряд

расходится.

157

5б) Находим

+n −1

l = lim

an = lim

= lim

+n +2

n→∞

−

∞

−

= 2 .

= lim

n→∞

2 n→∞

∞

Поскольку l <1, то по признаку Коши данный ряд расходится.

6а) Исследуем на сходимость несобственный интеграл

+∞∫ 1+xx2 dx .

Имеем: +∞∫ 1+xx2

dx =	+∞	d(x2 )	1			+ x	2	+∞


	lim		= lim		ln1			=

	B→+∞ ∫	2(1+ x2 )	B→+∞	2				1

	1

=	1 lim (ln(1+ B2 ) −ln 2) . Поскольку	lim ln(1+ B2 ) = ∞, то несоб-
	2 B→+∞	B→+∞

ственный интеграл расходится, значит, по интегральному признаку данный ряд также расходится.

6б)

Исследуем

на сходимость

несобственный

интеграл

+∞

2xdx

∫1

x4 + 4

+∞

2xdx

d(x)

Имеем

∫

= lim

= lim (arctgx2 )

x4 + 4

B→+∞ ∫ (x2 )2 + 22

B→+∞

arctgB − lim arctg1 =

= π .

= lim (arctgB −arctg1) = lim

−

B→+∞

+∞

2xdx

Значит,

несобственный интеграл

∫1

сходится, поэтому схо-

x4 + 4

дится и исходный числовой ряд.

158

7а) Для исследования на абсолютную сходимость составим ряд

∞

(−1)

n 3

∞

n+1

∑

=∑

. Здесь an

an+1

(2n +1)!

(2n

+3)!

n=1

Применим признак Даламбера, для чего вычислим

l = lim

n+1 = lim

3n+1(2n +1)!

= lim

3n 3 (2n +1)!

n→∞

(2n +3)!3n

n→∞

(2n +1)!(2n +2)(2n +3)3n

= lim

3n 3 (2n +1)!

= lim

= 0.

(2n +1)!(2n +2)(2n +

3)3n

(2n + 2)(2n +

n→∞

Поскольку l <1, то по признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

∞

(−

∞

7б) Составляем ряд

∑

=∑

= ∑

Это ряд Дирих-

n=1

∞

1 ,

ле ∑

, причем

p =

p <1, поэтому он расходится, значит, аб-

n=1

∞

(−

солютной сходимости ряда

∑

нет. Исследуем теперь этот зна-

n=1

кочередующийся ряд на условную сходимость,

для чего применим к

∞

(−3

нему признак Лейбница. Имеем:

∑

= −1+

−

−... .

n=1

Поскольку

члены

ряда

убывают

по

абсолютной

величине:

1 >

>... и общий член ряда стремится к нулю:

lim

= 0 ,

3 2

3 3

n→∞

3 n

то по признаку Лейбница ряд сходится (условно).

159

∞

2n +1

7в) ∑(−1)n

. Поскольку

3n +5

n=1

2n +1

∞ = lim

2 + n

= 2 ≠ 0,

lim a

= lim

n→∞

n→∞ 3n +5

5 n→∞

∞ n→∞

то в данном случае не выполняется необходимый признак сходимости ряда, значит, ряд расходится.

8а)

Выполним замену

x −1 = y

и найдем радиус сходимости

∞

R полученного степенного ряда

∑an yn =∑n!yn . Поскольку

n=1

R = lim

= lim

= 0 ,

n→∞

an+1

n→∞

(n +1)!

n→∞ n!(n +1)

n→∞ n +1

то ряд сходится в единственной точке

y = 0, значит, по замене

x −1 = 0,

x =1.

Исходный

ряд

сходится в

единственной точке

x =1. Это и есть область его сходимости.

∞

8б) Для ряда ∑an xn =∑

находим радиус сходимости

n=1

= lim

(n +1)!

= lim n!(n +1)= lim(n +1)= ∞.

R = lim

n→∞

an+1

n→∞

Значит, ряд сходится на всей числовой прямой (−∞; +∞). Это и есть область сходимости ряда.

∞

8в) Для ряда ∑

имеем:

an =

+ n

n=1

an+1 =

. Тогда

(n +1)2 +(n +1)

n2 +3n + 2

160

R = lim an

n→∞ an+1

= limn n2n+23+nn+2

→∞

	∞	= lim
=		= lim
	∞	n→∞

n	2			+	3		+	2
		1
		1			n			n2
					n			n2	= lim
							1		= lim
		n	2			+	1		n→∞
		n		1		+	n
							n

1	+	3	+	2
1	+	n	+	n2	=1.
		n		n2
	1+		1
	1+		1
			n

Значит, интервал сходимости данного ряда ( – R; R) есть интервал (– 1; 1). Исследуем теперь сходимость ряда на концах интервала.

∞

При х = 1 из исходного ряда получаем числовой ряд

∑n=1

n2 +n

∞

здесь

an =

Сравним его со сходящимся рядом

∑

, т.е.

+ n

n=1

∞

bn =

(ряд Дирихле ∑

сходится при р > 1, а у нас р = 2). По-

n=1

∞

скольку an < bn

, то меньший ряд ∑

сходится,

+ n

n=1 n

поэтому х = 1 принадлежит области сходимости. При х = – 1 полу-

чаем знакочередующийся ряд ∑∞ (−2 1)n , который сходится абсо- n=1 n + n

лютно, как доказано выше. Значит, х = – 1 принадлежит области сходимости. Область сходимости исходного ряда есть отрезок [– 1; 1].

8г) Выполним замену у = х + 1. Получаем степенной ряд

∞

n+1

∑

. Здесь an =

, an+1

, значит R = lim

= lim

5 n

= 5 .

n+1

n→∞

n+1

n→∞

n 1

Поэтому – 5 < y < 5, – 5 < х +1 < 5, – 6 < х < 4. Интервал сходимости исходного ряда (– 6; 4). Исследуем сходимость на концах интервала. При х = – 6 получаем ряд

∞	(−5)n		∞	(−1)n 5n		∞	n
∑			=∑			=∑(−1) =−1+1−1+1− .
	5	n		5	n
n=1			n=1			n=1

Общий член ряда не стремится к нулю, значит, он расходится и x=- 6 не входит в область сходимости. Аналогично, при х = 4 получаем

161

∞

ряд ∑5n

=∑1 =1+1+ . Данный ряд также расходится, поэтому

n=1

областью сходимости исходного ряда остается интервал (– 6; 4).

9а)

f (x)= x3e−x . Воспользуемся известным разложением

et =1+t + t2 + t3 + + tn

+ , где −∞ < t < +∞ .

Полагаем здесь t = – х, получим

f (x)= x

(−1)n xn

−

+ +

1− x +

+ =

= x

− x

(−1)xn+3

−

+ +

+ .

Данное разложение сходится к f (х) при всех значениях х.

9б) f (x)= sin 3x . Воспользуемся известным разложением

t3	t5		n	x2n+1
sin t = t − 3! +	5! − +(−1)				+ , где −∞ < t < +∞ . Полагаем
				(2n +1)!
теперь t = 3х, получаем
	33 x3	35 x5			n 32n+1 x2n+1
sin 3x = 3x −	3! +	5!	− +(−1)				+ , x R.
						(2n +1)!

9в) f (x)= 1− x3 . Представим f (х) в виде f (x)= (1+(− x3 ))2 и воспользуемся известным разложением

m(m −1)

m(m −

1)(m −2)

+t)

=1+

1! t +

+ +

+ m(m −1)(m −2) (m −n +1)tn + ,

которое верно при – 1 < t < 1. Полагая теперь m = 12 , t = x3 , получим

162

−

(x3 )2 +

−

)

f (x)=1+

x3 +

+ +

−

−n +1

(x3 )n + ,

и, произведя упрощения, получаем

f (x)=1−

x3 +

1 3

−

1 3 5

x9 + +

(−1)n1 3 5 (2n −1)x3n

+ .

2 1!

22 2!

23 3!

2n n!

Это разложение верно, если −1 < x3 <1, т.е. −1 < x <1.

9г) f (x)= ln(x + 2). Преобразуем f (х). Имеем

f (x)= ln 2

+1 = ln 2

+ln 1+

. Воспользуемся разложением

ln(1+t)= t

− t2

+ t3

− t4

+ + (−1)n−1tn + , где

−1 < t ≤1.

Полагая t =

, получим, что

(−1)n−1 xn

f (x)= ln 2

−

+ +

+ , где

4 2

8 3

16 4

2n n

−1 <

≤1, значит −2 < x ≤ 2 .

sin x

10а) Неопределенный интеграл ∫

относится к «небе-

рущимся» интегралам, т.е. его нельзя выразить в элементарных функциях, поэтому для вычисления определенного интеграла

∫1	sin x dx нельзя применить формулу Ньютона-Лейбница. Разло-
0	x
жив подынтегральную функцию sin x		в ряд Маклорена, получаем,
	x
	163

sin x

что

−

=1−

−

+ . Данное

x −

разложение верно для любых х. Можно проинтегрировать почленно степенной ряд в правой части последнего равенства, применив к каждому слагаемому формулу Ньютона-Лейбница:

																			1			1		1			1
																											1
1	sin x			1				x2		x4		x6								x3			x5		x7		+ =
1	sin x			1				x2		x4		x6								x3			x5		x7		+ =
∫			dx = ∫
∫		x	dx = ∫		1−		3!		+	4!	−	6!		+	dx = x				−	3 3!		−	5 5!	−	7	7!	0
0				0			3!			4!		6!							0	3 3!		0		0
0				0															0			0		0
=		1	+	1	−		1		+ =1			−		1	+	1	−	1			+ .
		1		1			1							1		1		1
		3 3!		5 5!		7 7!							18			600		35280
		3 3!		5 5!		7 7!							18			600		35280

В правой части последнего равенства находится ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, поэтому его остаток не превосходит по абсолютной величине абсолютной величины первого отбрасываемого члена. Так

352801 < 100001 , то для вычисления интеграла с требуемой точностью 0,0001 достаточновзять три первых члена разложения:

					∫1 sin x dx =1−												1		+	1			≈ 0,9461.
					∫1 sin x dx =1−														+				≈ 0,9461.
					0			x							18				600
					1						1
10б) Поскольку					1					= e−4 , то из известного разложения

					4		e
					4		e
ex =1+ x		+		x2		+			x3		+ +			xn				+			при x = − 1				, получаем
ex =1+ x		+	2!			+					+ +							+			при x = − 1				, получаем
1			2!							3!					n!									4
1	1				1						1								1
e−4 =1−	1	+			1					−	1		+						1			− .
e−4 =1−	4	+	16 2							−	64 6		+			256 120						− .
	4		16 2								64 6					256 120
Поскольку		1			>					1		,			1					<			1	, то для достижения
Поскольку	64 6				>		10000					,	256 120							<	10000			, то для достижения
	64 6						10000						256 120								10000

заданной точности достаточно четырех первых членов разложения:

e−14 ≈1− 14 + 321 − 3841 ≈1−0,25000 +0,03125 −0,00260 ≈ 0,77865 ≈ 0,7787

164

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3130 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.08.201986.02 Кб10второй блок.doc
#
20.02.201696.52 Кб145Вывод по рациону питания (технология на 22.10).pdf
#
20.02.201636.85 Кб14выводы отчёт.docx
#
20.02.2016167.92 Кб20выставки в рб курсовая.docx
#
20.02.201638.4 Кб21Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб93Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб60Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf