Теорема 2.7. Если функция f (x) определена и монотонна на отрезке [a,b], то она интегрируема этом отрезке.
Теорема 2.8. Если функция f (x) ограничена на отрезке [a,b]
и непрерывна во всех точках этого отрезка, за исключением конечного числа точек, где функция имеет разрыв первого рода, то эта
функция интегрируема на отрезке [a,b].
Теорема 2.9. Если интегрируемую на [a,b] функцию изменить
в конечном числе точек, то получится интегрируемая функция с тем же интегралом.
В качестве функции, которая не является интегрируемой по Риману можно привести функцию Дирихле на отрезке [0,1]:
1, |
если x |
рациональное; |
f (x) = |
если x |
иррациональное. |
0, |
2.3.3.Свойства определенного интеграла
Интегральное исчисление строится на базе набора свойств определенного интеграла. Приведем наиболее важные из них:
1. |
∫a |
f (x)dx = 0, если f (x) определена в точке a ; |
|
|
a |
|
|
2. |
∫a |
f (x)dx = −∫b |
f (x)dx, если f (x) интегрируемая на [a,b]. |
ba
Очевидным является факт, что значение определенного интеграла для интегрируемой на [a,b]функции f (x) не зависит от обозначения переменной интегрирования:
∫b |
f (x)dx = ∫b |
f (t)dt = ∫b |
f (z)dz. |
a |
a |
a |
|
56
Теорема 2.10. Если функции |
f (x) и g(x) интегрируемы на |
|||||
отрезке [a,b], то для любых действительных чисел α и β |
функ- |
|||||
ция α f (x) + β g(x) |
также интегрируема на |
[a,b] и справедливо |
||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
∫ab (α f (x) + β g(x))dx = α ∫b |
f (x)dx + β ∫b g(x)dx |
(2.6) |
||||
Теорема 2.11. Если функция |
a |
|
a |
|
||
f (x) интегрируема на отрезках |
||||||
[a,c] и [c,b], то она интегрируема и на отрезке [a,b], причем |
|
|||||
∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (t)dx + ∫b (z)dz, |
|
(2.7) |
||
a |
a |
|
|
c |
|
|
Теорема 2.12 (теорема о среднем в определенном интеграле) .
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], |
то существует |
|
хотя бы одна точка c [a,b], такая, что |
|
|
∫b |
f (x)dx = f (c)(b −a) |
(2.8) |
a |
|
|
Равенство (2.8) с геометрической точки зрения означает, что площадь криволинейной трапеции aABb совпадает с площадью некоторого прямоугольника (рис.2.2)
Рис. 2.2
57
Теорема 2.13. Если f (x) ≤ g(x) для всех x [a,b], а |
f (x) и |
|
g(x) интегрируемы на [a,b], то |
|
|
∫b |
f (x)dx ≤ ∫b g(x)dx |
(2.9) |
aa
2.3.4.Существование первообразной у непрерывной функции. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница
Как видно из предыдущего, многие свойства определенного и
неопределенного интегралов имеют общую природу, хотя последний вводился исходя из теори дифференцирования. Это не случайно, что и будет показано ниже.
Определение 2.6. Пусть f (x) непрерывна на [a,b]. Функция
Ф(x) = ∫x f (t)dt называется определенным интегралом с перемен-
a
ным верхним пределом.
Теорема 2.14 (теорема Барроу). Если f (x) непрерывна на [a,b], то функция Φ(x) является дифференцируемой на [a,b], причем
′ |
x |
′ |
|
|
|
||
Ф (x) = (∫ f (t)dt) |
= f (x) . |
|
|
|
a |
|
|
Эта теорема доказывает, |
что любая функция f (x) непрерыв- |
||
ная на [a,b], имеет первообразную. Именно, Φ(x) = ∫x |
f (t)dt явля- |
||
ется одной из первообразных. |
|
a |
|
|
|
|
|
Теорема 2.15 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть F(x) −ка- кая-либо первообразная для непрерывной функции f (x) , заданной на [a,b]. Тогда справедлива формула:
∫b |
f (x)dx = F(b) − F(a) |
(2.10) |
a |
|
|
58
Разность |
F(b) − F(a) часто обозначается как F(x) |
|
b |
, где сим- |
|
||||
|
a |
вол b называется знаком двойной подстановки a
Формула (2.10) называется формулой Ньютона-Лейбница. Ее важность определяется тем, что она связывает определенный интеграл с первообразной ее подынтегральной функции и тем самым дает исключительно удобный способ вычисления определенного интеграла.
|
|
|
Пример 2.18. |
π∫sin xdx =−cos x |
|
π = −(cosπ −cos0) = −(−1−1) = 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Пример 2.19. |
|
1− x2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем вначале неопределенный интеграл |
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1− x2 dx с помощью подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x = sin t, |
dx = costdt, |
|
1− x2 = sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда ∫ |
|
dx = ∫ cos2 tdt = ∫ |
1+cos 2t |
dt = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
1+cos 2tdt = |
∫ |
1 dt + 1 |
∫ cos 2tdt = |
1 t + 1 sin 2t +C = |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
1 t + 1 |
|
|
|
1 t + |
1 sin t |
|
|
|
|
|
1 arcsin x + |
1 x |
|
|
||||||||||||||||
= |
2sin t cost = |
1−sin2 t = |
1− x2 |
+C. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Тогда с помощью формулы Ньютона-Лейбница получаем |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫1 |
|
|
|
1 arcsin x |
|
1 + |
1 |
|
|
|
1 arcsin1− |
1 arcsin 0 + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− x2 dx = |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
2x 1− x2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ 12 1
1−12 − 12 0 
1−02 = 12 π2 − 12 0 + 12 0 − 12 0 = π4 .
59