наличие производной были условиями равносильными. Для функ-

ций многих переменных наличие частных производных не гарантирует дифференцируемость. Однако, как показывает следующая теорема, уже непрерывность частных производных обеспечивает дифференцируемость.

Теорема 1.8. Если в некоторой окрестности точки M0 (x0, y0 )

∂∂xz (x, y) и ∂∂yz (x, y) и они непрерывны в точке M0 (x0, y0 ) , то функция z = f (x, y) дифференци-

руема в точке M0 (x0, y0 ) .

1.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных

Определение 1.13. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M0 (x0, y0 ) , то линейная относительно приращений x и y часть полного приращения функции называется полным дифференциалом функции z = f (x, y) в точке M0 (x0, y0 ) и обозначает-

ся dz(M0 ).

С учетом (1.6) и теоремы 1.7 справедливо следующее представление полного дифференциала:

18

полным приращением и полным дифференциалом есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x и y , то справед-

лива формула приближенного вычисления значений функции:

ции и ее частных производных в точке M (x0 , y0 ) : f (x0 , y0 ) = 42 +32 = 5 ,

19

Применяя теперь формулу (1.9), находим

4,032 +2,992 ≈ 5 + 54 0,03 + 53 (−0,01) = 5,018.

добласть области D , на которой определена функция z = f (x, y) . Значит, на D1 заданы две новые функции двух переменных, а именно u = ∂∂xz (x, y) и v = ∂∂yz (x, y) и можно находить их частные

производные по переменным x и y . Эти частные производные и

называются частными производными второго порядка или вторы-

ми частными производными функции z = f (x, y) .

причем, частные производные ∂2 z и ∂2 z называются смешан-

∂x∂y ∂y∂x

ными частными производными.

20