- •Оглавление
- •Введение
- •1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1.1. Предел и непрерывность функций многих переменных
- •1.1.1. Понятие функции многих переменных
- •1.1.2. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных
- •1.1.3. Предел функции двух переменных в точке
- •1.1.4. Непрерывность функции двух переменных
- •1.2. Дифференцируемость функции многих переменных
- •1.2.1. Частные производные
- •1.2.2. Дифференцируемые функции
- •1.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных
- •1.2.5. Производные высших порядков
- •1.3. Экстремум функции многих переменных
- •1.3.1. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.4.1. Понятие эмпирической формулы
- •1.4.2. Выравнивание экспериментальных данных по прямой
- •1.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе
- •1.4.4. Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе
- •2. Интегральное исчисление
- •2.1. Неопределенный интеграл
- •2.1.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •2.1.4. Непосредственное интегрирование. Поднесение под знак дифференциала
- •2.2. Основные методы интегрирования
- •2.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.2.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.2.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •2.2.4. Интегрирование по частям
- •2.2.5. Интегрирование рациональных функций
- •2.3. Определенный интеграл
- •2.3.1. Определение определенного интеграла
- •2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций
- •2.3.3.Свойства определенного интеграла
- •2.3.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.3.7. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •2.4.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •3.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения
- •3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.2.1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения
- •3.2.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •3.3.1. Постановка задачи Коши и понятие общего решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.3.2. Свойства решений линейных однородных уравнений
- •3.3.3. Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4. Ряды
- •4.1. Числовые ряды
- •4.1.1. Понятие числового ряда и его сходимости
- •4.1.2. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •4.1.3. Необходимый признак сходимости ряда и его следствие
- •4.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
- •4.1.5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •4.1.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •4.2. Степенные ряды
- •4.2.1. Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •4.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля
- •4.2.3. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда
- •4.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
- •Вопросы для повторения и тренировочные задания
- •1. Функции многих переменных
- •2а. Неопределенный интеграл
- •2б. Определенный интеграл
- •3: Дифференциальные уравнения
- •4. Ряды
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
Вопросы к экзамену
1.Понятие функции. Область определения функции. Способы задания.
2.Основные элементарные функции. Элементарные функции.
3.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
4.Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
5.Определение предела функции в точке. Односторонние пределы.
6.Основные теоремы о пределах функций. Два замечательных предела.
7.Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.
8.Геометрическая задача, приводящая к понятию производной. Определение производной. Геометрический смысл производной.
9.Теорема о производной сложной функции. Таблица производных.
10.Теоремы Ролля, Лагранжа.
11.Правило Лопиталя. Раскрытие всех видов неопределенностей.
12.Достаточные условия возрастания и убывания функции.
13.Максимум и минимум функции. Необходимое условие экстремума.
14.Достаточные условия экстремума функции.
15.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
16.Асимптоты графика функции.
17.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
18.Определение функции нескольких переменных. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
165
19.Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия.
20.Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой, параболе.
21.Определение первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
22.Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле.
23.Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.
24.Интегрирование рациональных функций.
25.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
26.Интегрирование некоторых иррациональных функций.
27.Геометрическая задача, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
28.Свойства определенных интегралов.
29.Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
30.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
31.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
32.Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
33.Несобственные интегралы от неограниченных функций.
34.Дифференциальные уравнения (основные понятия).
35.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
36.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
37.Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия.
38.Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда.
39.Интегральный признак сходимости.
40.Признак сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
166
41.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
42.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
43.Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда.
44.Ряды Тейлора и Маклорена.
45.Разложение функций sin x, cos x, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд.
46.Применение рядов к приближенным вычислениям.
Литература
1.Высшая математика: Общий курс. Учеб.- 2-е изд., перераб / А.И. Яблонский, А.В.Кузнецов, Е.И.Шилкина и др.; Мн.: Выш.
шк., 2000.
2.Гусак А.А. Высшая математика: В 2 т. Мн.: Университетское, 1984, т. 1, 2.
3.Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Мн.: Вышэйшая школа, 1988. Ч. 1, 2.
4.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1985.
5.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Вышэйшая школа, 1976.
6.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Мн.: Вышэйшая школа, 1976.
7.Математический анализ в вопросах и задачах. Учеб. пособие для студентов вузов/ В.Ф.Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев и др.; М.: Высш.шк.,1984
8.Малыхин В.И. Математика в экономике. М.: ИНФРА-М, 1999.
9.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс / А.В. Кузнецов, Д.С. Кузнецова, Шилкина Е.И. и др.; Мн.: Вышэйшая школа, 1994.
167