Пример 2.15. Найти ∫

x2 +5dx.

Решение.

∫

u =

2xdx

, v = x ]=

I =

x2 +5dx =

x2 +5, dv = dx, du =

2

x2 +5

= x

− ∫

x

2

dx = x

− ∫

x2

+5 −5

dx =

x2 +5

x2 +5

2

+5

2

x

x

+5

Теорема 2.4. Если R(x) =

P(x)

−правильная рациональная

Q(x)

P(x)

=

A

+

A

+ ...+

Aα

1

+ ...+

B

+

B

+

1

2

1

2

Q(x)

x −a

(x −a )2

(x −a )α 1

x −a

k

(x −a

)2

1

1

1

k

...+

Bα

k

+

M

1

x

+ N

1

+

M

2

x + N

2

+…+

(x −a

k

)α k

x2 + p x + q

(x2

+ p x + q )2

1

1

1

1

+

M β

x + Nβ

1

+...

+

R x + S

+...+

Rβ

x + Sβ

,

1

1

1

r

r

(x2 + p x

+q )β 1

x2 + p

x + qr

(x2 + p

x

+ q

r

)β r

1

1

r

r

где A1, A2 ,...M1, N1,...Rβ

r

, Sβ r

− некоторые числа, называемые не-

определенными коэффициентами.

Интегралы от простейших дробей вычисляются следующим

образом:

1. ∫

A

dx = A∫

d(x −a)

= Aln

x −a

+C.

x −a

x −a

Например,

∫

3dx

= 3ln

x +5

+C .

x +5

(x −a)−k +1

2. ∫

A

dx = ∫

d(x −a)

= A∫

−k

(x −a)k

(x −a)

dx =

A

+C =

(x −a)k

−k +1

= ∫ A

(x −a)−k +1

A

1

+C =

+C .

−k +1

1−k

(x −a)k −1

Например,

∫

4dx

=

4

(x −2)

−2

+C = −

2

+C.

(x −2)3

−2

(x −2)2

3. ∫

Mx + N

dx = ∫

Mx + N

p

dx

=

x +

= t, dx = dt,

x

2

+ px +q

p

p

2

2

(x +

)2 + q

−

2

4

p

2

Mt + N − Mp

Mtdt

N − M

p

q

−

= a2

> 0

=

∫

2

dt =

−

∫

2

dt =

y

2

+ a

2

2 2

t

2

+ a

2

4

∫ t + a

=

M ln

t2 + a2

+(N − Mp)arctg

t

+C = M ln(x2

+ px + q) +

2

2

a

2

+

2N − Mp

1

arctg

2x + p

+C

2

4q − p2

4q − p2

4. Интегралы вида ∫

Mx + N

,

где k ≥ 2, вначале разби-

(x2 + px + q)k

Пример 2.16.

Найти ∫

x3 −5

dx.

x2 −6x +5

деля числитель на знаменатель:

x3 −5

= x +6 +

31x −35

.

x2 −6x

+5

x2

−6x +5

Тогда

∫

x3 −5

dx. = ∫ (x

+6)dx + ∫

31x −35

x2

dx =

+6x + I,

x2 −6x +5

x2 −6x +5

2

где

I = ∫

31x −35

dx .

x2 −6x +5

Пусть

31x −35

=

A

+

B

. Тогда приводя к общему зна-

x −1

x −5

x2 −6x +5

менателю, получим

31x −35

=

A(x −5) + B(x −1)

.

x2 −6x +5

(x −1)(x −5)

Отсюда 31x −35 = (A + B)x −5A − B . Для нахождения неопре-

деленных коэффициентов A и B составим систему

A + B = 31,

4A = 4,

A =1,

B = 30.

5A + B = 35,

Пример 2.17.

Найти

∫

9x3 −30x2 + 28x −88

dx .

(x2 −6x +8)(x2 +4)

Решение. Поскольку x2 −6x +8 = (x −2)(x −4),

то разложение

подынтегральной функции на простейшие дроби

имеет следую-

щий вид:

9x3 −30x2 +28x −88

=

A

+

B

+

Cx

+ D

=

(x −2)(x −4)(x2

+ 4)

x −

2

x −

4

x2

+ 4

A(x −4)(x2 + 4) + B(x −2)(x2 + 4) +(Cx + D)(x −2)(x −4)

;

(x −2)(x

−4)(x2

+ 4)