zmin = f (1,1) =13 +13 −3 1 1 = −1. Ответ: zmin = f (1,1) = −1.

1.4. Метод наименьших квадратов

В различных экономических и других практических задачах часто возникает необходимость установления аналитической зависимости между интересующими переменными, которые заданы, например, в виде статистических данных за определенный период. Одним из распростра-

26

ненных способов решения подобных задач является метод наименьших квадратов, который основывается, по сути, на нахождении экстремума функций нескольких переменных.

1.4.1. Понятие эмпирической формулы

Важное значение имеет следующая задача: требуется установить вид функциональной зависимости между двумя переменными

Иначе говоря, требуется выразить зависимость между x и y

аналитически, т.е. указать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть

эмпирическими формулами.

Следует заметить, что подбор эмпирической формулы не ставит задачу разгадать истинный вид зависимости эта задача ма-

тематически неразрешима. Ставится задача подобрать формулу, в каком-то смысле наилучшим образом отображающую полученные результаты. Для этой цели применяются различные методы. Мож-

но построить многочлен, принимающий в данных точках xi значения yi , приведенные в табл. 1.1. Достоинство этого метода в том,

что полученная формула точно воспроизводит заданные значения. Такого рода формулы называются интерполяционными. Здесь по

Можно разбить опытные данные на тройки точек, а затем по каждой тройке точек строить параболу. Получится функция, «склеенная» из парабол. Достоинства такого способа состоят в том, что, во-первых, данные табл.1.1 отображаются точно, во-вторых, степень многочлена невысокая (вторая). Недостатком является громоздкая запись и недифферен-

27

цируемость полученной функции в местах «склейки». Такой подход называется сплайн-интерполяция.

Третий способ заключается в следующем. Исходя из некоторых теоретических или практических соображений (например, конфигурации расположения точек на координатной плоскости) подбирается наиболее простая формула, которая дает наилучшее совпадение с опытными данными. Наиболее типичными в экономических исследованиях являются формы зависимостей в виде ли-

Слова «наилучшее совпадение» понимаются здесь в том смысле, что из данного множества формул вида y = f (x, a0 , a1,..., am )

наилучшей считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений yi от вычисленных по формуле значений

y = f (xi , a0 , a1,..., am ) является наименьшей. Описанный третий

способ построения эмпирической формулы называется методом наименьших квадратов, а вычисленные путем решения задачи

n

S(a0 , a1,...am ) = ∑(yi − f (xi , a0 , a1,...am ))2 → min

i=1

из необходимых условий экстремума функций многих переменных, минимум функции S(a0 , a1,..., am ) будет в тех точках, где частные произ-

именуемую нормальной системой метода наименьших квадратов.

28

1.4.2. Выравнивание экспериментальных данных по прямой

Пусть для данных табл. 1.1 из теоретических или практических соображений известно, что эмпирическую функцию следует искать

в виде y = a1x + a0 . Тогда наилучшие значения параметров a1 и a0

являются решением нормальной системы метода наименьших квадратов, которая в данном случае имеет вид:

Пример 1.15. Рост среднемесячной зарплаты сотрудников фирмы за 5 лет отражен в следующей таблице:

Полагая эту зависимость линейной, установить ее аналитическую форму.

Решение. Уравнение искомой зависимости будем искать в виде y = a1x + a0 . Коэффициенты системы (1.11) удобно вычислять с

помощью расчетной таблицы, в столбцы которой заносим исходные данные, а также требуемые для коэффициентов системы (1.12) промежуточные вычисления:

29