4.2. Степенные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа. Однако для математического анализа в первую очередь нужны функциональные ряды, т.е. ряды, членами которых являются функции. Бесспорно, наиболее важным для приложений является специальный класс функциональных рядов ― степенные ряды.

4.2.1. Понятие функционального ряда и его области сходимости

Определение 4.10. Ряд вида

функциональный ряд (4.11) превращается в обычный числовой ряд, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 4.11. Совокупность всех значений x X , при которых функциональный ряд (4.11) сходится, называется

абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из

∞

абсолютных величин его членов ∑ fn (x) .

n=1

105

4.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля

Определение 4.13. Ряд вида

n=0

называется степенным рядом.

С помощью замены y = x − x0 исследование сходимости ряда

(4.13) можно свести к исследованию сходимости ряда (4.12). Ясно, что при x = 0 (или x = x0 ) степенной ряд сходится. При изучении

области сходимости степенных рядов важную роль играет следующая теорема.

4.2.3. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда (4.12) найдется такое неотрицательное число R , называемое

радиусом сходимости, что при всех x, x < R ряд сходится, а при всех x, x > R , ряд расходится. Интервал (−R; R) называется

интервалом сходимости степенного ряда (4.12). Для нахождения радиуса сходимости R используют одну из следующих формул:

106

x0 = 0 ; если R = ∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

∞

Итак, интервал сходимости ряда ∑an xn есть (−R; R) .

n=0

Для нахождения области сходимости ряда (4.12) надо

сходимости ряда (4.12) может быть один из промежутков: [− R; R],

Данный знакочередующийся ряд удовлетворяет признаку Лейбница (Теорема 4.10) и поэтому сходится. Следовательно,

областью сходимости ряда является полуинтервал [−13;13).

107

4.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды

Среди различных аналитических аппаратов исследования функций первое место по своей простоте и удобству употребления занимают функциональные (или степенные) ряды. Идея проста: функция, которую мы хотим изучить, представляется как предел частичных сумм некоторых простейших функций.

называется рядом Маклорена.

Теорема 4.12 (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора).

Если функция f (x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом M :

Теорема 4.13. Если функция f (x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

108

Выпишем теперь разложение в степенные ряды (ряды

Ряд (4.23) сходится при x [−1;1).

Степенные ряды применяются для вычисления с заданной точностью значений функций; для приближенного вычисления определенных интегралов и для решения других задач, в частности, при интегрировании дифференциальных уравнений.

109

Этот ряд сходится при всех x ; интегрируя его почленно, получим:

Полученный знакочередующийся ряд имеет сумму, которую надо вычислить с точностью до 0,001 . По теореме 4.10 (признак

Лейбница), остаток сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит по абсолютной величине абсолютной величины первого отбрасываемого члена, поэтому

Заданная точность обеспечена, так как первый отброшенный член удовлетворяет требуемому неравенству

110