Основные теоретические сведения

1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, которые могут быть охарактеризованы некоторой совокупностью чисел. Для изучения такого рода зависимостей вводится понятие функции многих переменных и развивается аппарат их исследования.

1.1. Предел и непрерывность функций многих переменных

На случай функций нескольких переменных можно распространить многие понятия и утверждения, установленные выше для функций одной переменной.

1.1.1. Понятие функции многих переменных

Во многих областях науки, техники и экономики встречаются величины, значения которых зависят от двух, трех и более независимых переменных. Например, уровень рентабельности (R) зави-

сит от прибыли (П) на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b) фондов, что может быть выражено в виде функции трех переменных: R = П(a +b) .

Определение 1.1. Если каждой точке M (x1, x2 ,..., xn ) некото-

рой области D из пространства Rn соответствует вполне определенное число z R , то говорят, что задана функция n переменных z = f (x1, x2...xn ) (z = f (M )). Множество D называется областью

определения функции и обозначается D( f ) . Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее

независимых переменных z = f (x, y) , где (x, y) D R2 .

8

1.1.2. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных

Определение 1.2. Пусть на множестве D задана функция двух

z= f (x, y) .

Сгеометрической точки зрения данное множество представляет собой некоторую поверхность в пространстве R3 .

Пример 1.1. Найти область определения и область значений функции z = −1− x2 − y2 и изобразить ее график.

Решение. Естественная область определения функции задается неравенством 1− x2 − y2 ≥ 0 или x2 + y2 ≤1 и представляет собой внутренность круга радиуса 1 с центром в начале координат.

Поскольку 0 ≤1− x2 − y2 ≤1, 0 ≤ 1− x2 − y2 ≤1,

0 ≥ −1− x2 − y2 ≥ −1, то множество значений E( f ) =[−1,0].

Графиком этой функции является нижняя половина сферы, заданной уравнением

венству f (x, y) = C , где C − постоянная, т.е. такая линия плоскости x0y , в точках которой функция принимает одно и то же значение z = C .

9

Пусть, например, y = f (x1, x2 ) есть производственная функция, зависящая от двух факторов x1 и x2 . Линии уровня задаются уравнением f (x1, x2 ) = C , где C ― постоянная. Эти линии в эко-

номической литературе называют изоквантами (кривые постоянного выпуска). Таким образом, изокванта ― это геометрическое

место точек (x1, x2 ) из R2 , которым соответствует один и тот же

уровень продукции. Иногда эти линии называют кривыми взаимо-

заменяемости ресурсов.

Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость Oxy множество точек пространства R3 , лежащих в пересечении поверхности z = f (x, y) и плоскости z = C . Придавая постоянной C различные значения, C1, C1 +h, C1 +2h, ... , получим ряд ли-

ний уровня, которые дают наглядное представление о поведении рассматриваемой функции. Там, где линии расположены гуще, поверхность, изображающая функцию, будет круче (это означает, что функция изменяется быстрее), а там, где линии реже, функция изменяется медленнее.

1.1.3. Предел функции двух переменных в точке

Определение 1.4. Говорят, что последовательность точек M1(x1, y1) , M2 (x2 , y2 ), , Mn (xn , yn ), плоскости Oxy сходится к

10

Важно отметить, что предел функции существует, если он не зависит от пути устремления точек M1, M2 ,...Mn ,..., к точке M0 .

Пример 1.2. Показать, что функция z = x2 − y2 не имеет пре- x2 + y2

дела в точке M0 (0,0) .

определению предела на языке « ε – δ», которое в данном случае звучит следующим образом.

f (M ) − A < ε.

11