2.2.Основные методы интегрирования

Ксожалению, общего метода интегрирования нет, тем не ме-

нее, ниже мы укажем некоторые приемы вычисления интегралов. Сравнительно в редких случах удается дать правила для интегрирования.. Но и тогда, когда имеются эти правила, они вовсе не являются наилучшим, или наиболее экономным путем. Вычисление чаще всего может быть выполнено не единственным способом (это своеобразное искусство!). Владение операцией интегрирования (как и многими другими математическими операциями) заключается не только в знании того как можно в конце концов взять интеграл, но и в умении сделать это с наименьшей затратой времени и труда.

39

2.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом под-

становки или методом замены переменной.

Теорема 2.1. Пусть требуется найти интеграл ∫ f (ϕ(x)) ϕ′(x) dx , где подынтегральная функция непрерывна и из-

вестно, что ∫ f (t) dt = F(t) +C . Тогда

∫ f (ϕ(x)) ϕ′(x) dx = ∫ f (φ(x)) dφ(x) =F(ϕ(x)) +C.

Теорема 2.2. Пусть требуется найти ∫ f (x)dx , где f (x) −непрерывная функция. Если φ (t) −строго монотонная функция, име-

40

Пример 2.4. Используя метод подстановки, найти интеграл

∫ x dx 2 x .

1+ln

Решение. Выполним подстановку ln x = t, d(ln x) = dt, 1x dx = dt. Тогда исходный интеграл примет вид

∫ 1dt+t2 = ln t + 1+t2 +C = ln ln x + 1+ln2 x +C .

41

2.2.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций

ональная функция, p, q,..., s,t − целые числа, находятся с помощью подстановки t = mcxax++db , где m −наименьшее общее кратное чи-

сел q,...,t.

42