МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИБЕЛАРУСЬ
УО «Белорусский государственный экономический университет»
Конюх А.В., Майоровская С.В., Поддубная О.Н., Рабцевич В.А.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Практикум
Часть I
Минск 2014
Оглавление |
|
Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА............................................................................... |
5 |
1.1. Матрицы. Операции над матрицами...................................................... |
5 |
1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы |
|
линейных уравнений...................................................................................... |
10 |
1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений............................. |
16 |
1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений............................ |
20 |
1.5. Рангматрицы.Теоремаосовместности системылинейныхуравнений.... |
25 |
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ....................................................... |
30 |
2.1. Векторы на плоскости и в пространстве................................................ |
30 |
2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов............ |
37 |
2.3. Векторное и смешанное произведение векторов................................. |
41 |
2.4. Векторное пространство n . Ранг и базис системы векторов.............. |
46 |
Глава 3. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ............................................. |
52 |
3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .............. |
52 |
3.2. Прямая линия на плоскости.................................................................... |
60 |
3.3. Совместное исследование уравнений прямых...................................... |
63 |
3.4. Кривыевторогопорядка,заданныеканоническимиуравнениями............ |
74 |
3.4.1. Эллипс............................................................................................... |
74 |
3.4.2. Гипербола ......................................................................................... |
87 |
3.4.3. Парабола........................................................................................... |
95 |
3.5. Прямая и плоскость в пространстве..................................................... |
100 |
3.5.1. Плоскость в пространстве .............................................................. |
101 |
3.5.2. Уравнения прямой в пространстве................................................ |
109 |
3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между |
|
прямыми в пространстве......................................................................... |
111 |
3.5.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве... |
119 |
3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества................................. |
126 |
Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ....................................................... |
131 |
4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления.............. |
131 |
4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций........... |
139 |
Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ............................................................ |
144 |
5.1. Числовая последовательность.............................................................. |
144 |
5.2. Предел последовательности................................................................. |
148 |
5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей.......... |
156 |
5.4. Замечательные пределы....................................................................... |
164 |
5.5. Сравнение бесконечно малых.............................................................. |
168 |
5.6. Односторонние пределы...................................................................... |
173 |
5.7. Непрерывность и точки разрыва функции........................................... |
176 |
Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙОДНОЙПЕРЕМЕННОЙ184 |
|
6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл...... |
184 |
6.2. Дифференцирование функций............................................................. |
195 |
6.3. Дифференциал функции....................................................................... |
208 |
6.4. Производные и дифференциалы высших порядков........................... |
214 |
6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя ........................... |
221 |
6.6. Основные свойства дифференцируемых функций............................. |
224 |
6.7. Исследование функций......................................................................... |
232 |
6.8. Предельный анализ в экономике......................................................... |
246 |
Ответы............................................................................................................... |
258 |
Литература........................................................................................................ |
274 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время для решения теоретических и практических задач экономики требуется серьёзная математическая подготовка специалистов. Практикум включает следующие главы: линейная алгебра, элементы векторной алгебры, аналитическая геометрия, функция одной переменной, пределы и непрерывность, дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Особенностью данного практикума является наличие большого числа решенных типовых задач различных уровней сложности, что делает его полезным для студентов как дневной, так и заочной форм обучения.
Главы разбиты на параграфы, в которых приводятся основные теоретические положения, решения типовых примеров, математические модели, составленные на основе экономических задач, задачи для самостоятельного решения.
Внаписании практикума принимали участие следующие авторы: гл. 1–2
–А.В. Конюх, гл. 3 – О.Н. Поддубная, гл. 4–5 – С.В. Майоровская, гл. 6 – В.А. Рабцевич.
Большая часть задач, приведенных в пособии, составлена авторами, использовались также классические задачи из других источников.
Цветовое оформление издания пизвано выделить в тексте определения основных понятий (оттенки оранжевого цвета), принципиальные положения теории (оттенки зеленого цвета) и формулы и алг оритмы (оттенки голубого цвета). Наиболее важные элементы дополнительно выделены цветной рамкой и фоновой заливкой. Двухцветное выделение указывает на присутствие в фрагменте информации двух типов.
Глава 1. ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА
1.1. Матрицы. Операции над матрицами
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, записываемая в виде
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
|
|||
|
a |
a |
a |
|
|
|||
A = |
|
21 |
22 |
|
|
2n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: |
||||||||
A, B, C, … . Для указания размеров |
матрицы используют запись Am×n . |
|||||||
Например, матрица A3×4 имеет 3 строки и 4 столбца. |
||||||||
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется
матрицей-строкойили матрицей-столбцом соответственно.
Числа aij , составляющие матрицу, называются ееэлементами. Элементы
матрицы нумеруются двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный
элемент. Матрицу размером m× n с элементами aij обозначают также (aij ) |
m×n |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Две матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если |
||||
равны все |
их элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. aij = bij , |
|||
i =1, ,m, |
j =1, ,n . |
|
|
|
|
||||
Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов, т.е. m = n, то |
||||
матрицу называют квадратной порядка n и обозначают An . |
Элементы |
|||
a11, a22, ,ann квадратной матрицы образуют главную диагональ. |
Квадратная |
|||
матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей и обозначается E.
|
1 |
0 |
0 |
|
Например, E = 0 |
1 |
0 |
, – единичная матрица третьего порядка. |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
5
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
Транспонированием матрицы A = (aij )m×n называется такое ее
преобразование, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров и порядком следования элементов. Матрица, полученная транспонированием матрицы A, называется транспонированной и
обозначается |
AT . |
|
|
Таким |
|
образом, |
|
AT = (aij′ ) |
n×m |
, где |
a′ji = aij , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1, ,m, j =1, ,n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|||
Например, |
A = |
, |
T |
= |
|
2 |
5 |
|
. |
|
|
|
||||
|
4 |
5 |
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
При транспонировании матрицы-столбца получается матрица-строка и наоборот.
Произведением матрицы A = (aij )m×n на число λ называется матрица
λA = (λaij )m×n , т.е. при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число.
Например, |
A |
1 |
2 |
3 |
, |
|
|
3 |
|
6 |
9 |
|
|
|
||
= |
5 |
|
3A = |
|
|
15 |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
12 |
|
18 |
|
|
||||
Суммой двух |
матриц |
A = (aij ) |
m×n |
и |
B = (bij ) |
m×n |
называется матрица |
|||||||||
A + B = (aij +bij ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m×n |
, |
т.е. |
при |
|
сложении |
двух |
матриц складываются их |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующие элементы. Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров.
|
0 |
1 |
|
|
− 2 |
3 |
|
|
−2 |
4 |
||||
Например, A = |
|
3 |
|
, |
B = |
|
1 |
0 |
|
. Тогда |
A + B = |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
2 |
||||
Произведение матрицы A на матрицу B определено только тогда, когда количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B (в этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B).
6
Произведением матрицы A = (aij )m×l на матрицу B = (bij )l×n называется матрица AB = (cij )m×n , элементы которой определяются по следующему правилу:
cij = ai1b1 j + ai2b2 j + ailblj , i =1, ,m; j =1, ,n |
. |
Иначе говоря, элемент i-й строки и j-го столбца матрицы AB равен сумме произведений всех элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Количество строк матрицы AB равно количеству строк матрицы A, а количество столбцов – количеству столбцов матрицы B.
Пример1.1. Найтитеизпроизведений AB и BA,которыеопределены,если
|
4 |
−1 |
1 |
2 |
3 |
|
A = |
3 |
|
, B = |
4 |
0 |
. |
|
2 |
|
1 |
|||
Р е ш е н и е. Матрица А содержит 2 столбца, а матрица В – 2 строки, поэтому матрица АВ существует. Так как матрица A содержит 2 строки, а матрица B – 3 столбца, то матрица АВимеет размеры 2×3:
4 1+ (−1) 4 |
4 2 + (−1) 0 4 3 + (−1) 1 |
0 8 |
11 |
|||
AB = |
3 1+ 2 4 |
3 2 + 2 0 |
3 3 + 2 1 |
|
= |
. |
|
|
11 6 |
11 |
|||
Произведение BA не существует, поскольку количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A.
Пример 1.2. Найти произведения AAT и AT A, где A =[1 |
−2 |
5]. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. AAT =[1 −2 5] −2 = [1 1+ (−2) (−2) +5 5]=[30], |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
1 (−2) |
1 5 |
|
1 |
−2 |
5 |
||
T |
|
|
[1 −2 |
5]= |
|
|
−2 (−2) |
−2 |
|
= |
|
4 |
|
|
A A = |
−2 |
−2 1 |
5 |
−2 |
−10 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 1 |
5 (−2) |
5 |
|
|
|
−10 25 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|||||
Матрицы A и B называются перестановочными, если
AB = BA.
Возведение матрицы в степень m, где m – целое положительное число, определяется так же, как и возведение в степень действительного числа, т.е.
Am = A A A .
m раз
Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.
7
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
Пример 1.3. Найти A2 , если A = |
2 |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Р е ш е н и е. A2 |
3 |
0 3 |
0 |
= |
3 3 + 0 2 |
3 0 + 0 1 |
9 |
0 |
||||
= |
|
|
|
2 |
|
|
= |
. |
||||
|
|
2 |
1 2 |
1 |
|
|
3 +1 2 2 0 +1 1 |
8 |
1 |
|||
Пусть f (x) =α |
0 |
xm +α xm−1 |
+ +α |
m |
есть многочлен с действительными |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
коэффициентами. Многочленом от квадратной матрицы А называется
матрица |
f (А) =α |
0 |
Аm +α Аm−1 + +α |
m |
E , |
порядок |
которой |
совпадает с |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
порядком матрицы А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.4. Найти f (A) , если f (x) = x |
2 −3x + 2 |
, A |
3 |
−1 |
|
|
||||||||||||
= |
2 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Р е ш е н и е. f (A) = A2 −3A + 2E = |
3 |
−1 3 |
−1 |
−3 |
3 |
−1 |
+ |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 1 |
|
|
1 |
|
|
||||
1 |
0 |
8 |
|
−5 |
9 |
−3 |
2 |
|
0 |
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
= |
|
|
− |
|
+ |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
5 |
|
3 |
3 |
6 |
0 |
|
2 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
1.1. |
Даны матрицы A и B. Найти A + B , 2A − B , если: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
B |
−2 |
0 |
б) A = |
3 −2 |
1 |
, B = |
−4 |
1 2 |
|||||
а) A = |
, |
= |
; |
|
|
|
|
3 |
. |
|||||||
|
0 |
1 |
|
3 |
4 |
|
|
4 5 |
0 |
|
|
|
|
−6 5 |
||
1.2. |
Дана матрица A. Найти AAT |
и AT A, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
||
|
; |
|
б) A = 0 |
1 2 |
; |
в) |
A = 1 |
|
|
4 |
|
; |
||||
а) A = |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
5 |
|
−3 |
|
|||
|
−3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
д) A =[3 |
−4 1]; |
е) |
A = −5 . |
|
|
||||||||||
г) A = |
4 |
|
; |
|
|
|||||||||||
|
−2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
1.3. Даны матрицы A,B,C. Найти те из произведений AB, BA, AC, CA, BC, CB, которые имеют смысл:
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|||
а) A = |
|
1 |
0 |
4 , |
|
B = |
, C |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 4 |
|
|
|
|
−3 |
|
||||
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
1 0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
б) A = |
|
|
|
, B |
= |
|
4 −1 |
3 |
|
, C |
= |
|
|
; |
|
|
|
|||
−2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
1 |
|
|
3 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
−1 |
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
C = 0 |
4 |
3 |
; |
||||||||
в) A =[4 0 −2], B = |
−2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−4 |
|
2 |
|
|
|||
г) A = |
1 |
−1 , B =[1 3 |
2], C |
= |
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
д) A =[1 0 3], B = |
|
5 |
|
, C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−1 |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1.4. |
Прикакомзначении α |
|
3 |
7 |
α |
7 |
|
перестановочны? |
|
матрицы A = |
4 |
|
и B = |
4 |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
α |
|
|
||
1.5. |
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A = |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
1.6. |
Найти A2 −5A +3E , если A = |
2 |
−1 |
|
|||
|
3 |
. |
|
||||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
1.7. |
Найти 2A |
2 |
− A + 2E , если A = |
|
1 |
|
|
|
3 |
2 . |
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1.8. При каких значениях α |
и β |
|
2 |
α |
равен нулевой |
квадрат матрицы A = |
|
|
|||
|
|
1 |
β |
|
|
матрице?
9