3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
Обобщением понятия плоскости трехмерного пространства на случай n -мерного пространства является понятие гиперплоскости. Каждую гиперплоскость можно задать одним линейным уравнением вида
|
|
a1x1 + a2x2 +... + an xn = b, |
|
|
|
|
(3.69) |
где a ,a ,...,a ,b –действительные числа, a 2 |
+a |
2 |
+... + a |
2 |
≠ 0. |
||
1 2 |
n |
1 |
|
2 |
|
n |
|
Очевидно, что на декартовой плоскости (n = 2) уравнение (3.69) описывает прямую. Если в n -мерном пространстве задана гиперплоскость (3.69), то этой гиперплоскостью все точки пространства разбиваются на два
полупространства:
1) |
множество точек, для которых a1x1 + a2x2 |
+... + an xn ≥ b ; |
(3.70) |
2) |
множество точек, для которых a1x1 + a2x2 |
+... + an xn ≤ b . |
(3.71) |
Эти полупространства пересекаются по самой гиперплоскости (3.69).
Множество X точек n -мерного пространства называется выпуклым, если для
любых A, B X справедливо λA + (1−λ)B X , λ [0,1], |
т.е. выпуклое |
множество наряду с любыми двумя своими точками A и B |
содержит и все |
точки отрезка AB . |
|
Например,нарис.3.21первоемножествоявляетсявыпуклым,авторое– нет.
Рис 3.21
Пересечение любой совокупности выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Каждое полупространство (3.70), (3.71) является выпуклым множеством. Гиперплоскость (3.69), как пересечение выпуклых множеств, есть выпуклое множество.
Через каждую точку границы выпуклого множества на плоскости проходит, по крайней мере, одна опорная прямая, имеющая общую точку с границей, но не рассекающая это множество.
126
В трехмерном пространстве через каждую точку границы выпуклого множества проходит хотя бы одна опорная плоскость, оставляющая это множество в одном полупространстве.
Множество X точек n -мерного пространства называется ограниченным,
если оно имеет |
конечный |
диаметр |
|
d(Χ) = max ρ(A, B) , где ρ(A, B)– |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AΧ,BΧ |
расстояние между двумя точками A и B множества X . |
||||||||||
|
||||||||||
|
||||||||||
Пусть в n даны m полупространств, определяемых неравенствами: |
||||||||||
a |
x |
+ a |
x |
+... + a |
x |
≥ b , |
|
|
||
11 1 |
12 |
2 |
|
|
1n |
n |
1 |
|
|
|
a21x1 |
+ a22x2 |
+... + a2n xn ≥ b2 |
, |
(3.72) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
+ a |
x |
|
+... |
+ a |
x ≥ b . |
|
||
|
m1 1 |
m2 2 |
|
mn |
n |
m |
|
|||
Все знаки неравенств одного смысла могут быть достигнуты умножением, в случае необходимости, обеих частей неравенства на –1.
Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (3.72). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым
многогранником n -мерного пространства n . Таким образом,
множество решений системы линейных неравенств (3.72) представляет собой либо выпуклый многогранник, либо выпуклую неограниченную область, либо пустое множество точек.
Частным случаем, но крайне важным с точки зрения графической иллюстрации решения является система m линейных неравенств с двумя переменными, имеющая вид
a |
x + a |
x |
≥ b , |
|
|
|||
11 1 |
12 |
2 |
|
1 |
|
|
||
a21x1 + a22x2 |
≥ b2 |
, |
(3.73) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
+ a |
m2 |
x |
|
≥ b . |
|
|
|
m1 1 |
2 |
m |
|
||||
где a11, a12,...,am1, am2,..., b1,...,bm − заданные действительные числа.
Системы вида (3.73) возникают при моделировании многих экономических задач.
127
Так как (3.73) – совокупность линейных неравенств, необходимо определить понятие решения линейного относительно переменных x1 , x2 неравенства:
a1x1 + a2x2 ≤ b . |
(3.74) |
Решением неравенства называется такая пара действительных чисел (x1, x2 ), |
|
которые удовлетворяют неравенству (3.74). Если трактовать x1 |
и x2 как координаты |
точек пространства 2 , т.е. плоскости x1O x2 , то областью решений неравенства называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (3.74). Областью решений линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая a1x1 + a2x2 = b делит плоскость x1O x2 .
Одной из экономических интерпретацией неравенства (3.74) является бюджетное множество, которое определяется как множество наборов товаров (x1; x2 ) в количествах x1 и x2 соответственно (первого и второго вида),
которые можно приобрести по ценам a1 и a2 за единицу товара, имея заданную сумму b денежных единиц.
Пример 3.39. Построить на плоскости x1O x2 область решений системы
3x1 + 2x2 ≤ 6,
линейных неравенств: x1 + x2 ≥1,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Решение. Построим граничные прямые (рис. 3.22): 3x1 + 2x2 = 6 (L1 );
x1 + x2 =1 (L2 ); x1 = 9 (L3 ); x2 = 0 (L4 ). Прямые (L1 ) и (L2 ) строим по двум точкам, а именно, точкам пересечения с осями координат. Построим прямую
(L1 ): 3x1 + 2x2 = 6 . |
Если x2 = 0 , |
то |
3x1 + 2 0 = 6 , x1 = 2, значит, прямая (L1 ) |
|||||||
пересекает ось O x1 |
в точке А(2; 0); если x1 = 0, то 3 0 + 2x2 = 6 , |
x2 = 3, |
значит, |
|||||||
прямая (L1 ) |
пересекает ось |
O x2 |
в точке В(0; 3). Аналогично устанавливаем, |
|||||||
что прямая |
(L2 ) |
пересекает |
оси |
O x1 и |
O x2 в точках С(1; |
0) |
и |
D(0; |
1) |
|
соответственно. Прямые (L3 ) |
и (L4 ) задают уравнения осей координат O x2 |
и |
||||||||
O x1 соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждая |
из |
построенных |
прямых |
разбивает плоскость |
на |
две |
||||
полуплоскости, одна из которых (ее направление укажем стрелкой) является
128
решением неравенства, соответствующего граничной прямой. Для того, чтобы узнать, какая именно из двух полуплоскостей является решением неравенства, в неравенство, соответствующее рассматриваемой граничной прямой, подставим координаты точки, не лежащей на этой прямой, например, для (L1 )
и (L2 ) подставим точку О(0; 0): 3 0 + 2 0 ≤ 6, (L1 ); 1 0 +1 0 ≤1, (L2 ). Получим числовое неравенство 0 ≤ 6 , которое является истинным, следовательно, стрелка направлена от прямой (L1 ) в полуплоскость с точкой О(0; 0), и 0 ≥1,
которое является ложным. Следовательно, стрелка направлена от прямой (L2 ) в полуплоскость, не содержащую точку О(0; 0). Неравенство x1 ≥ 0 задает полуплоскость, лежащую правее прямой (L1 ); а неравенство x2 ≥ 0 задает полуплоскость, лежащую выше прямой (L2 ). Пересечение отмеченных
полуплоскостей (четырехугольник АСDВ) и есть область решений изучаемой системынеравенств:
Задачи для самостоятельного решения
Построить на плоскости x1O x2 область решений системы линейных неравенств
|
2x − x ≤ 6, |
x +3x ≤ 6, |
||||
3.319. |
|
1 2 |
|
1 |
2 |
≤ 6, |
x1 |
+ 4x2 ≤8, |
3.320. 3x1 + x2 |
||||
|
x ≥ 0, x ≥ 0. |
x ≥ 0, x ≥ 0. |
||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
x1 +
3.321. x1 +x1 ≥
2x2 ≤12, x2 ≤8, 0, x2 ≥ 0.
129
x1 + x2 ≤12,
3.322. x1 + 2x2 ≥ 6,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3x1 + x2 ≤ 6,
3.325. x1 + 2x2 ≥ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x1 + 4x2 ≤8,
3.328. x1 + x2 ≥ 3,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x1 −3x2 ≥ 0,
3.331. x1 −3x2 ≥ −2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 3.
2x1 +3x2 ≤ 6,
3.323. x1 + x2 ≥ 2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
2x1 +5x2 ≤10,
3.326. x1 + x2 ≥ 3,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.x1 − x2 ≥ 0,
3.329. x1 + 2x2 ≤ 0,
x2 ≥ 2.
x1 − 2x2 ≥ 0,
3.332. x1 − 2x2 ≤ 2,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
3x1 + 4x2 ≤12,
3.324. x1 + x2 ≥1,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.x1 + x2 ≤10,
3.327. x1 + 2x2 ≥ 6,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
x1 + x2 ≤ 0,
3.330. x1 ≤ 2,
x2 ≥ −1.
130