3.4.2. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через 2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами F1 и F2, расстояние междуними— через2с.Поопределениюгиперболы2а< 2сили а<с.

Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

Уравнение вида (3.31) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметриигиперболы,аначалокоординат— еецентромсимметрии(рис.3.11). Оси симметрии гиперболы называются осями, центр симметрии — центром гиперболы.Гиперболапересекаетоднуизсвоихосей;точкипересеченияназываются вершинамигиперболы.Нарис.3.9вершиныгиперболынаходятсявточкахА'иА.

Рис. 3.11

Прямоугольник CC'B'B со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения:

87

Уравнение

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат (рис. 3.12); уравнение (3.33), как и уравнение (3.31), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b. Две гиперболы, которые определяются уравнениями (3.31) и (3.33) в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Рис. 3.12

Гипербола с равными полуосями (а=b) называется равносторонней; ее каноническое уравнение имеет вид

Число ε = ac , где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины,

называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы ε >1. Если М(х; у) — произвольная точка гиперболы, то отрезки F1М и F2M (рис. 3.13) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

r1 = εx+a, r2 = εx–a,

фокальные радиусы точек левой ветви– по формулам r1 =– εx+ a, r2 = – εx–a.

Если гипербола задана уравнением (3.31), то прямые, определяемые уравнениями x = −εa , x = εa , называются ее директрисами (рис. 3.13). Если гипербола задана уравнением (3.33), то директрисы определяются

88

Рис. 3.13

Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr — расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d — расстояние от той

же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение dr есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы: dr =ε .

Если центр симметрии гиперболы находится в точке C(x0; y0 ), а прямые

Пример 3.16. Найти уравнение асимптот гиперболы 2x2 −3y2 = 6 .

Решение. Разделив обе части уравнения гиперболы на 6, получим

уравнения асимптот гиперболы.

Пример 3.17. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

x2 + y2 =1. 25 9

89

Решение. Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы c2=a2+b2=16, ε = ac = 2 ; c=2a; c2=4a2; a2=4; b2=16– 4 = 12.

x2 − y2 =1 – искомое уравнение гиперболы.

4 12

Пример 3.18. На железной дороге расположены две станции A и B (рис. 3.14). Пусть из различных пунктов местности, по которой проходит железная

соотношению (**), расположены на той ветви гиперболы, которая прилежит к

90

фокусу A. Стало быть точки M , для которых справедливо (*) лежат в той части плоскости, которая отделена этой ветвью от точки A.

Вывод. На станцию B выгоднее подвезти груз автотранспортом для дальнейшей отправки по железной дороге из различных пунктов местности, которые расположены в той части плоскости, которая отделена ветвью гиперболы от точки A. На станцию A выгоднее подвезти груз автотранспортом для дальнейшей отправки по железной дороге из тех пунктов местности, которые расположены в той же части плоскости относительно ветви гиперболы, в которой расположена и точка A.

Задачи для самостоятельного решения

3.164. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:

1)ее оси 2а = 10 и 2b = 8;

2)расстояние между фокусами 2с=10 и ось 2b = 8;

3)расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 32 ;

4)ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = 54 ;

5)уравнения асимптот y = ± 43 x и расстояние между фокусами 2с= 20;

6)расстояние между директрисами равно 22132 и расстояние между

фокусами 2с = 26;

9) уравненияасимптоту= ±34 x ирасстояниемеждудиректрисамиравно1254.

3.165. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат,симметричноотносительноначалакоординат,зная,крометого,что:

1)ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

91

2)расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет ε =53 ;

3)уравнения асимптот у= ±125 x , расстояние между вершинами равно 48;

4)расстояние между директрисами равно 7 17 и эксцентриситет ε =75 ;

5)уравненияасимптоту= ±43 x ирасстояниемеждудиректрисамиравно 6 52 .

3.166. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

3.169. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

Изобразить эти линии на чертеже.

3.170. Эксцентриситет гиперболы ε=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

3.171. Эксцентриситет гиперболы ε=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной13,додиректрисы,соответствующейзаданномуфокусу.

3.172. Определить точки гиперболы x2 − y2 =1, расстояние которых до левого

9 16

фокуса равно 7.

92

3.173. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1)точки M1(6; –1) и М2(–8; 22 ) гиперболы;

2)точка M1(–5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε= 2 ;

3)точка M1(92 ; –1) гиперболы и уравненияасимптот y=± 23 x ;

4)точка M1(–3; 52 ) гиперболы и уравнения директрис y = ± 43 ;

5)уравнения асимптот у= ± 34 x и уравнения директрис x = ±165 .

3.174. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

3.175. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах

эллипса x2 + y2 =1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

100 64

3.176. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

3.177. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

Изобразить эти линии на чертеже.

3.178. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

1)расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы F1(–10; 2), F2(16; 2);

2)фокусы F1(3; 4), F2(–3; –4) и расстояние между директрисами равно 3,6;

3)угол между асимптотами равен 90° и фокусы F1(4; –4), F2(–2; 2).

3.179. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε= 54 ,

фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы5х–16 = 0.

93

3.180. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:

3.182. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы — пересекает ли, касается или проходит вне ее:

3.184. Вывести условие, при котором прямая у=kх+m касается гиперболы

перпендикулярных к прямой 4х+3у–7=0.

3.186. Составить уравнения касательных к гиперболе х2–у2=16, проведенных из точки А(–1; –7).

Составить уравнение хорды, соединяющей точкикасания.

Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.

3.189. Гипербола проходит через точку А(6 ; 3) и касается прямой 9х+2у–15=0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

94