1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Матрица A−1 называется обратной для матрицы

А, если

AA−1 = A−1A = E , где E – единичная матрица n -го порядка.

A

A

A

11

21

n1

A

−1

=

1

A12

A22

An2

,

(1.8)

det A

A

A

2n

A

1n

nn

где Aij – алгебраические дополнения элементовaij .

−2

−3

Пример 1.9. Найти обратную матрицу для матрицы A =

6

.

4

Р е ш е н и е. Находим

det A =

−2

−3

=10 ≠ 0. Далее выписываем

6

4

алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A = (−1)1+1

4 = 4,

A = (−1)1+2 6 = −6 ,

11

12

A = (−1)2+1 (−3) = 3,

A

22

= (−1)2+2 (−2) = −2 .

21

Следовательно,

A−1 =

1

4

3

0,4

0,3

=

.

10

−6

−2

−0,6

−0,2

AA−1 =

−2

−3

0,4

0,3

−0,8 +1,8

−0,6 + 0,6

=

1

0

6

4

=

2,4 − 2,4

= E .

−0,6

−0,2

1,8 −0,8

0

1

Аналогично проверяется равенство A−1A = E .

2

0

5

6

Пример 1.10. Найти обратную матрицу для матрицы A = 0

3 .

−1

1

0

Р е ш е н и е.Вычисляем det A = −24 ≠ 0 . Находим алгебраические

дополнения:

A = (−1)2

6 3

= 3;

A = (−1)3

0 5

= −5; A = (−1)4

0 5

= −30 ;

11

−1

0

21

−1

0

31

6

3

A = (−1)3

0 3

= 3;

A

22

= (−1)4

2 5

= −5 ;

A

32

= (−1)5

2 5

= −6 ;

12

1

0

1

0

0

3

A = (−1)4

0

6

= −6 ; A = (−1)5

2

0

= 2 ;

A = (−1)6

2 0

=12.

13

1

−1

23

1

−1

33

0

6

1

3

−5 −30

−1 8 5 24

5 4

Таким образом, A

−1

= −

3

−5 −6

=

−1 8 5 24

1

4 .

24

2 12

1 4 −1 12

−6

−1 2

Результат проверяем умножением: AA−1 = A−1A = E .

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

a x + a x + + a

x = b ,

11 1

12

2

1n

n

1

a x

+ a x

+ + a

x

= b ,

(1.9)

21 1

22

2

2n

n

2

a x

+ a

x

+ + a x

= b .

n1 1

n2

2

nn

n

n

a11

a12

a1n

a

a

a

называется матрицей системы (1.9).

Матрица A =

21

22

2n

an2

an1

ann

x1

b1

x

,

b

Обозначим также X =

2

B =

2

.

x

b

n

n

Систему (1.9) теперь можно записать в виде матричного уравнения:

AX = B .

(1.10)

X = A−1B .

(1.11)

Равенство (1.11) называется матричной записью решениясистемы (1.9).

Пример 1.11. Решить систему уравнений

x − 2x + 4x = 3,

1

2

3

2x1 + x2 −7x3 =1,

3x1 − 4x2 + 2x3 = 3.

Р е ш е н и е. Имеем

1 −2

4

x

3

−7

1

,

A = 2 1

,

X = x2

B = 1 .

3 −4

2

x3

3

Находим det A = −20 и обратную матрицу

1

−26

−12

10

A

−1

= −

−25

−10 −15 .

20

−2

5

−11

Далее по формуле (1.11) имеем

x

1

−26

−12 10 3

1

−78 −12 +30

1

−60

3

1

x2

= −

−25

−10 15 1

= −

−75

−10 + 45

= −

−40

=

2 .

20

20

20

−11

x3

−2 5 3

−33 − 2 +15

−20

1

Решение

данной

системы

x1 = 3, x2 = 2, x3 =1.

Правильность

решения

−2

−3

10

5

X

6

=

.

4

2

−2

Р е ш е ни е. Обозначим A =

−2

−3

. Умножим обе части уравнения

6

4

0,4

0,3

(см. пример 1.8). Получим

справа на матрицу A−1 =

−0,6

−0,2

10

5 0,4

0,3

=

4 −3

3 −1

1

2

X =

0,6

=

.

2

−2 −0,6

−0,2

0,8 +1,2

+ 0,4

2

1

а) 2

1 ;

б)

3

−5

;

в) −3

−8 ;

г) cosα

1

;

7

4

−4

7

2

6

sin2 α

−cosα

д) a

b

;

0

2 −1

3

1

−5

1 2

1

е) −2

−1 2 ;

ж) 1

2

4 ; з)

4 3

−2 .

c

d

3

−2

3

2

−5 −4

−1

−1

−1

1

2

2

1.17. При каком значении λ матрица A =

4

4

не имеет обратной?

3

3

λ

2

x + 4x −5x = 8,

x + x −3x = 4,

x + 2x − x = 3,

1

2

3

1

2

3

1

2

3

а) 2x1 +3x2 − 4x3 = 9,

б) x1 − x2 +5x3 = −4,

в) 5x1 +12x2 − 2x3 = −1,

x − 2x − x = 6;

x −6x = 5;

4x + 9x − 2x = 2.

1

2

3

2

3

1

2

3

2

5

2

1

;

4

6

1

1

;

а) X

=

б)

X =

1

3

1

1

6

9

1

1

3

−1

5

6

14 16

1

1

−1

1

−1 3

;

г) X 2

1

0

= 4

3 2 .

в)

X

=

9

5

−2

7

8

10

−1 1

−1

1

−2 5