Какие из данных функций имеют обратную? Для таких функций найти обратные функции:

Выяснить, какие из данных функций монотонны, какие – строго монотонны, а какие – ограничены:

4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций

Напомним, что графиком функции f (x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f (x)) .

Часто график функции y = f (x) можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

139

В частности, из графика функции y = f (x) получается график функции:

1)y = f (x) + a – сдвигом вдоль оси Oy на a единиц (вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0;

2)y = f (x −b) – сдвигом вдоль оси Ox на b единиц (вправо, если b > 0 ,

ивлево, если b < 0 ;

3)y = kf (x) – растяжением вдоль оси Oy в k раз;

4)y = f (mx) – сжатием по оси Ox в m раз;

5)y = − f (x) – симметричным отражением относительно оси Ox ;

6)y = f (−x) – симметричным отражением относительно оси Oy ;

7)y = f (x) , следующим образом: часть графика, расположенная не

ниже оси Ox , остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отражается относительно оси Ox ;

8) y = f ( x ), следующим образом: правая часть графика (при x ≥ 0 )

остается без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «правой» относительно оси Oy .

Основными элементарными функциями называются:

1)постоянная функция y = c ;

2)степенная функция y = xα , α R ;

3)показательная функция y = ax , a ≠ 0,a ≠1;

4)логарифмическая функция y = loga x , a > 0,a ≠1;

5)тригонометрические функции y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (где sec x = cos1 x ), y = cosec x (где cosec x = sin1 x );

6) обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x .

Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, − , , ÷) и композиций (т.е. образования сложных функций f g ).

140

Пример 4.6. Построить график функции

1) y = x2 + 6x + 7; 2) y = −2sin 4x .

Решение: 1) путем выделения полного квадрата функция преобразуется к виду y = (x +3)2 − 2 , поэтому график данной функции можно получить из графика функции y = x2 . Достаточно сначала сместить параболу y = x2 на три единицы влево (получим график функции y = (x +3)2 ), а затем на две единицы вниз (рис. 4.1);

Растянув полученный график в два раза вдоль оси Oy , получим график функции y = 2sin 4x (рис. 4.3). Осталось отразить последний график относительно оси Ox . Результатом будет искомый график(см. рис. 4.3).

141

8 4 2

y=– 2sin4x

Рис.4.3

Задачи для самостоятельного решения

Построить графики следующих функции, исходя из графиков основных элементарных функций:

142

143