Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
Скачиваний:
193
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
2.91 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

5.1. Числовая последовательность

Понятие числовой последовательности. Действия над последовательностями. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число xn , то говорят, что задана

числовая последовательность x1, x2, , xn , , которую будем обозначать {xn}.

Числа x1, x2, , xn , называют членами (элементами)

последовательности: x1 – 1-м членом последовательности, x2 – 2-м членом последовательности,…, xn – n -м (энным) или общим членом последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как функцию f , определенную на множестве N натуральных чисел. Тогда общий член последовательности xn = f (n). Последнее выражение называется формулой общего члена последовательности.

Суммой, разностью, произведением или отношением двух последовательностей {xn} и {yn} называются последовательности, члены

которых

образованы

соответственно по правилам zn = xn + yn ; zn = xn − yn ;

z

n

= x

y

n

; z

n

=

xn

при

y

n

≠ 0. Произведением

последовательности {x

} на

 

 

n

 

 

 

yn

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число c называется последовательность с общим членом zn = cyn .

Последовательность может быть задана, в числе прочего, с помощью рекуррентных формул, т.е. формул, позволяющих выразить n -й член последовательности через предыдущие члены.

Пример5.1. Написатьпервыепятьчленовпоследовательности {xn},если:

1)xn = (−1)n ; 2n +1

2)xn − n -й знак в десятичной записи числа π .

3)x1 = 0, xn = 2xn−1 +1;

144

4) −3,9,−27,81 ?
2) −21, −34 , −49 , −516 ;

Решение: 1) поочередно подставляя n =1,2,3,4,5 в формулу общего

члена последовательности, найдем x

= −1 , x

= 1 ,

x

= −1 ,

x =

1 , x = −

1

;

 

 

 

 

 

1

3

2

5

3

7

4

9

5

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) в силу того,

что

число

π = 3,141592653 ,

получаем

x1 =1,

x2 = 4,

x3 =1, x4 = 5 , x5 = 9;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) имеем

x1 = 0. Пользуясь формулой

xn = 2xn−1 +1,

последовательно

находим x2 =1,

x3 = 3,

x4 = 7 , x5 =15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограниченность

последовательности.

Последовательность

 

{xn}

называется ограниченной сверху, если существует такое число M , что для

любого номера n справедливо неравенство

xn < M

(т.е.

 

все

члены

последовательности содержатся в интервале (−∞;M )).

 

 

 

 

 

 

Последовательность

{xn}

называется

ограниченной

снизу,

 

если

существует такое число m , что для любого номера n справедливо неравенство xn > m (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (m;+∞)).

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для любого n выполнено неравенство xn < M (т.е. все члены последовательности содержатся в интервале (−M ;M )).

Очевидно, ограниченная последовательность является ограниченной как сверху, так и снизу и обратно, ограниченная одновременно сверху и снизу последовательность является ограниченной.

Пример 5.2. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху; ограничены снизу; ограничены:

1) 3,5,7,9, ;

3) 12 , 212 , 213 , 214 ;

Решение: 1) данная последовательность xn = 2n +1, состоящая из всех нечетных чисел, не превышающих числа три, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) последовательность x =

−n2

< 0 ограничена сверху, но не является

 

 

n

n +1

 

 

 

ограниченной снизу;

 

 

 

145

3)последовательность ограничена, так как она является ограниченной и снизу и сверху: 0 < xn = 21n <1;

4)последовательность xn = (−3)n не является ограниченной, так как для

любого, сколь угодно большого,

 

числа M > 0 можно найти такой номер n

(например, n = ln M

 

+ 2), что

 

xn

 

= 3n > M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возрастание и убывание последовательности. Последовательность, все

члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

 

Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей),

если

для

любого

номера

 

n

справедливо

неравенство

xn ≤ xn+1

(соответственноxn ≥ xn+1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются

монотонными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если

для

любого

номера

n

 

 

справедливо

неравенство

xn < xn+1

(соответственноxn > xn+1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго

монотонными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.3. Исследовать данные последовательности на монотонность:

1) x =

2n +1;

 

2) x = (−1)n

;

3) x = 3n +1 ;

4) x = n2 −9n −

100.

 

n

 

 

 

n

n

 

 

n

2n −1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: 1) данная последовательность является строго монотонной

(возрастающей),

поскольку

xn+1 = 2(n +1) +1 = 2n +3 > 2n +1 = xn для

любого

натурального числа n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)последовательность не является ни монотонной, ни строго монотонной, так как, например, x1 = −1< x2 = 12 , но x2 > x3 = −13 ;

3)покажем, что данная последовательность строго убывает, т.е. для любого номера n справедливо неравенство xn > xn+1. Для этого рассмотрим

отношение

n -го

члена

последовательности

к

n +1-му:

146

x

 

3n +1

 

2n +1

 

6n2 +5n +1

 

n

=

 

 

 

=

 

 

. Числитель полученной дроби всегда больше

x

2n −1

3n + 4

6n2

+5n − 4

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

знаменателя и поскольку при этом общий член xn

положителен для любого

натурального n , то

xn

 

>1 и x

> x

 

для всех n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn+1

n

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

рассмотрим

 

разность

между

n -м

и

(n +1)

-м членами

последовательности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

− x

= n2 −9n −100

−((n +1)2 −9(n +1)n −100) = −2n +8.

 

Выражение,

n

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стоящее

в правой

части

равенства, положительно

при

n =1,2,3

(т.е.

x1 > x2 > x3 > x4 ), равно нулю

при

 

n = 4(т.е. x4 = x5 )

и

отрицательно

для

остальных значений n (при

этом xn < xn+1),

поэтому,

строго

говоря, данная

последовательность монотонной не является, однако она строго монотонна (возрастает), начиная с пятого члена.

Задачи для самостоятельного решения

5.1.Написать первые пять членов последовательности (xn ), если:

а) xn = 3n−1 ;

в) xn = n n+1;

д) xn = n2 − 2n +3 ;

ж) x1 = 0, x2 =1, xn+2 = xn + xn+1

з) xn = k∑n 21k ;

=1

б) xn = (−1)n +1;

г) xn = cos π2n ;

е) xn = n1!;

– последовательность чисел Фибоначчи;

n

и) xn = ∑(−1)k .

k=1

Для каждой из заданных последовательностей написать формулу общего члена:

5.2. а) 1,

1 ,

1 ,

1 ,

1 , ;

б) 1,

1 ,

1

 

,

 

1

,

1

 

, ;

27

 

 

 

 

 

3

5

7

9

 

 

8

 

64 125

 

в)

2

, 4

, 6

, 8

,10

, ;

г) 2,11

,1

1

,11 ,11

, ;

 

3

5

7

9

11

 

 

2

 

3

4

5

 

 

д) −1,1−1,1−1,1 .

147

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности