1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений

Для обозначения определителей часто используют греческую букву ∆ . Элементы a11, a22 и a11, a22, a33 определителей det A2 и det A3

соответственно образуют главную диагональ определителя, а элементы a21, a12

иa31, a22, a13 – побочную диагональ. Таким образом, определитель второго

порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Например,

10

Для запоминания формулы (1.3) удобно использовать правило треугольников, схема которого приведена на рис.1.1: первые три слагаемых представляют собой произведения элементов главной диагонали определителя, а также элементов, находящихся в вершинах треугольников, симметричных относительно побочной диагонали; остальные три слагаемых – взятые с противоположными знаками произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, находящихся в вершинах треугольников, симметричных относительно главной диагонали.

Рис.1.1

Пример 1.5. Вычислить определитель

12 −3

Ре ш е н и е.По правилу треугольников имеем

∆=1 6 1+ 2 5 2 + 4 (−1) (−3) −((−3) 6 2 + 2 4 1+5 (−1) 1)= 71.

Основные свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменяется при транспонировании, т.е. det A = det AT .

2.Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак.

3.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то значение определителя умножится на это же число. Как следствие, общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

4.Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5.Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6.Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

7.Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

11

Определитель второго порядка, который получается из определителя det A3 вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, называется минором элемента

aij определителя det A3 и обозначается Mij .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя det A3

называется минор Mij , взятый со знаком (−1)i+ j . Таким образом,

Aij = (−1)i+ j Mij .

Учитывая эти определения, равенство (1.2) запишем в виде

det A3 = a11A11 + a12 A12 + a13 A13 .

Важноезначениедлявычисленияопределителейимеетследующаятеорема.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Равенство (1.4) называется разложением определителя по элементам i-й строки,аравенство(1.5)– разложениемопределителяпоэлементамj-гостолбца.

Пример 1.6. Вычислить определитель

Ре ш е н и е. Прибавим к третьему столбцу определителя второй столбец,

ак первому – второй столбец, умноженный на 2. Получим

Разложим полученный определитель по элементам первой строки:

12

= 101 82 = (16 −8) =8 .

Определителем n-го порядка называется число

исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (по аналогии с определителями третьего порядка, Mij и Aij называются соответственно

минором и алгебраическим дополнением элемента aij ).

Все свойства определителей 3-го порядка справедливы также для определителей любого порядка n .

Пример 1.7. Вычислить определитель

Р е ш е н и е. Прибавим к третьей строке определителя вторую, умноженную на 2, а к четвертой – вторую строку, умноженную на (–3). Получим

Далее к третьему столбцу полученного определителя прибавим второй, умноженный на 5:

13

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

то система имеет единственное решение, которое мы найдем по формулам (1.7). Вычислим остальные три определителя:

можно также записать в виде упорядоченной тройки чисел (2;3;−1) . Правильность решения проверяется подстановкой найденных значений x, y и z в уравнения системы.

Формулы (1.7) можно также обобщить для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

14

Задачи для самостоятельного решения

1.9. Вычислить определители второго порядка:

1.10. Вычислить определители с помощью правила треугольников:

1.11. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

1.12. Вычислить определители с помощью теоремы Лапласа:

1.15. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

15