1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Система (1.12) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Суть метода Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему (1.12) к равносильной ей системе

треугольного

вида (при этом предполагается, что a11 ≠ 0 и aii′ ≠ 0, i = 2, ,n ).

Кэлементарным преобразованиям системы (1.12) относятся:

1)перестановка местами любых двух уравнений;

2)умножение обеих частей уравнения на ненулевое число;

3)прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число;

4)отбрасывание уравнения, все коэффициенты и свободный член которого равны 0.

Замечание. Вообще говоря, для приведения системы (1.12) к виду (1.13) или (1.14) может понадобиться изменение нумерации переменных.

20

Переход от системы (1.12) к системе (1.13) или (1.14) называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса заключается в нахождении неизвестных x1 , , xn из полученной системы.

В случае приведения к треугольному виду (1.13) из последнего уравнения находится неизвестная xn , значение которой подставляется в предпоследнее уравнение, и так последовательно находятся остальные неизвестные. Система при этом имеет единственное решение.

В случае приведения к ступенчатому виду неизвестные x1 , , xk , называемые базисными, будут выражаться через свободные неизвестные xk+1 , , xn ; система при этом имеет бесконечно много решений.

Если в результате прямого хода метода Гаусса будет получено уравнение 0 x1 + 0 x2 + + 0 xn = b′l , b′l ≠ 0 , то система несовместна.

На практике прямой ход метода Гаусса удобнее выполнять, преобразуя не саму систему, а ее расширенную матрицу

Пример 1.13. Решить систему уравнений

x1 − x2 + x3 = 3,2x1 + x2 + x3 =11,x1 + x2 + 2x3 =8.

Р е ш е н и е. Составим расширенную матрицу системы

Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на (−2) , а к третьей – первую, умноженную на (−1) :

21

Полученной матрице соответствует система уравнений

предварительно для удобства вычислений поменяв местами первое и второе уравнения:

Врезультате получим систему

x1 + 2x2 − 2x3 +3x4 = −6,− 7x45x2 +5x3 − =17,

22

Р е ш е н и е.Прямой ход метода Гаусса:

Поскольку третье уравнение системы, соответствующей полученной матрице, имеет вид 0 x + 0 y + 0 z = −5 , делаем вывод, что система несовместна, так как 0 ≠ −5 .

23

Задачи для самостоятельного решения

1.20. Методом Гаусса решить системы уравнений:

1.21. Решить системы уравнений:

24