Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

5.6. Односторонние пределы

Определение левого и правого пределов функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 , т.е. на некотором интервале (x0; x0 +δ) , где δ > 0.

Первое определение односторонних пределов функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.

Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или

правосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого


положительного числа ε	найдется такое число δ > 0, что для всех x			таких,
что 0 < x − x0 <δ , выполнено неравенство		f (x) − A	<ε .
что 0 < x − x0 <δ , выполнено неравенство		f (x) − A	<ε .
Обозначается это так:	lim f (x) = A или f (x0 + 0) = A.
	x→x0 +0
Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0				(или

левосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого


положительного числа ε	найдется такое число δ > 0, что для всех x , таких,
что 0 < x0 − x <δ , выполнено неравенство		f (x) − A	<ε .

Обозначается это так:	lim f (x) = A или f (x0 −0) = A .
	x→x0 −0

Первое определение односторонних пределов функции равносильно второму определению (по Гейне, или «на языке последовательностей»):

Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или

правосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn > x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.

Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или левосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn < x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.

Очевидно, что	lim f (x) существует в том и только в том случае, когда
	x→x0
существуют односторонние пределы		lim f (x) ,		lim f (x) и при этом имеют
		x→x0	+0	x→x0 −0
место равенства lim	f (x) = lim f (x) =		lim f (x) .
x→x0	x→x0 +0	x→x0 −0

173

Пример 5.16. Найти односторонние пределы функций:

при x ≤1

f (x) =

при

x →1;

при x

−x

2) f (x) =

x2 − 4x + 4

при x → 2;

− 2

f (x) =

(x +3)

1−cos2 x

при x → 0 ;

f (x) = 5 +

при x →1.

1+ 4

x−1

Решение: 1) рассматриваемая функция

определена на всей числовой оси. Пусть

x ≤1.

Тогда

f (x) = x2 .

Следовательно,

f (1−0)

lim

f (x)

= lim

–

предел

x→1−0

функции f (x) в точке x =1 слева.

Если

же

x >1,

то

f (x) = −x

f (1+ 0)

lim

f (x)

= lim (−x) = −1 – предел справа (рис5.1);

x→1+0

2) данная функция определена на всем множестве действительных чисел, кроме точки x = 2. Преобразуем выражение для f (x) , заметив, что в числителе дроби находится полный квадрат:

f (x) =

− 4x + 4

(x − 2)2

= x − 2 при x ≠ 2 .

Следовательно,

x − 2

− 2

f (2 −0) =

lim f (x) =

lim (x − 2) = 0 ,

f (1+ 0)

= lim (x − 2) = 0, т.е.

x→2−0

x→2+0

односторонние пределы функции в исследуемой точке равны между собой;

(x +3)

sin x

3) имеем f (x) = (x +3)

1−cos2 x

= (x +3)

sin2 x

sin x при 0 < x < π

Учитывая, что

sin x

получаем равенства

−

< x < 0

−sin x при

174

f (−0) =	lim	f (x) =	lim −(x +3) sin x		= −(0 +3) 1= −3 — пределслевавточкеноль;
	x→−0		x→−0	x
f (+0) = lim		f (x) = lim (x +3) sin x			= (0 +3) 1 = 3 — пределсправавточкеноль;
	x→+0		x→+0	x

4)найдем левосторонний предел данной функции в точке x =1. Если x →1−0, т.е. x стремится к единице, оставаясь меньше единицы, то выражение x −1 стремится к нулю, оставаясь при этом меньше нуля, поэтому

дробь

стремится к −∞, а значит, справедливы равенства lim 4

x−1

= 0 ,

x −1

x→1−0

f (1−0) = lim

f (x) = lim 5 +

= 5 +

= 6.

x→1−0

+ 4x−1

Если же x →1+ 0, то дробь

стремится к

+∞, а значит,

x −1

lim 4

x−1

= +∞, lim

= 0 ,

x→1−0

1+ 4

x−1

f (1+ 0) = lim f (x) = lim 5 +

= 5 + 0 = 5.

x→1+0

4x−1

Задачи для самостоятельного решения

Найти левый и правый пределы функции при x → x0 :

5.153. f (x) = e

x−a

, x

= a .

5.154. f (x) =

= 3.

x + 2

x−3

−2

при x ≤1,

5.155. f (x) =

а) x0 =1, б) x0 =10.

при x >1.

x2 −1

5.156. f (x) =

x =1.

5.157. f (x) =

1−cos x

x = 0 .

x −1

175

5.158. f (x) =

4 +3 7

1−x

x =1.

5.159. f (x)

= 2 .

(x − 2)2

1+ 71−x

5.160. f (x) =

, x = 0 .

5.161. f (x) = arctg 1 , x

= 0 .

2 − 2x

5.162.

f (x) = tg x , x

= π .

5.163. f (x) =

sin x

, x

= 0 .

5.164.

f (x) =[x] – целая часть x , x0 = 2 .

5.165. f (x) =

, {x}= x −[x] – дробная часть x , x

=1.

{x}

5.166. f (x) = cos π ,

= 0 .

5.167. f (x)

= 3tg 2x , x

= π .

5.168. f (x) =

= π .

1+ 2tg x

Найти пределы

arcsin(x + 2) .

5.169. lim

1−cos2x

5.170.

lim

5.171.

lim

1+ cos2x

x→−0

x→−2

x2 + 2x

x→π

π − 2x

(

)

1+ cos x

5.172.

lim

5.172.

lim

tg2 α +secα

− tgα

sin x

x→π+0

α→2 −0

5.7. Непрерывность и точки разрыва функции

Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется

непрерывной в точке x0 , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;

2) существует предел lim f (x) ;

x→x0

3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е.

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

176

Последнее условие равносильно условию		lim ∆y = 0 , где ∆x = x − x0 –
		∆x→0
приращение аргумента,	∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )	– приращение	функции,
соответствующее приращению аргумента ∆x , т.е.		функция f (x) непрерывна в
точке x0 тогда и только	тогда, когда в этой	точке бесконечно	малому

приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Односторонняя			непрерывность.		Функция		y = f (x)	называется
непрерывной		слева в	точке x0 , если		она	определена на		некотором
полуинтервале (a; x0 ] и			lim	f (x) = f (x0 ).
			x→x0 −0
Функция y = f (x)			называется непрерывной справа в точке x0 ,						если она
определена на некотором полуинтервале [x0;a)						и lim	f (x) = f (x0 ) .
						x→x0 +0

Функция y = f (x)			непрерывна в точке x0 тогда и только тогда,						когда она
непрерывна слева и справа в этой точке. При этом
lim	f (x) =	lim f (x) = lim		f (x) = f (x0 ) .
x→x0 +0	x→x0 −0		x→x0

Непрерывность функции на множестве.						Функция y = f (x)		называется
непрерывной на множестве				X , если она является непрерывной в каждой
точке	x этого множества.			При этом если функция			определена		в конце

некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева.

В частности, функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке

[a;b], если она

1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);

2)непрерывна справа в точке a ;

3)непрерывна слева в точке b.

Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x), или являющаяся граничной точкой этой области, называется точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.

177

Точки разрыва делятся на точки разрыва первого и второго рода:

если

существуют

конечные

пределы

lim f (x) = f (x0 −0)

x→x0 −0

lim

(x) = f (x0 + 0) ,

причем не

все

три числа f (x0 −0) ,

f (x0 + 0) ,

f (x0 )

x→x0 +0

равны между собой, то x0 называется

точкой разрываI рода

В частности, если левый и правый пределы функции в точке x0

равны

между

собой,

но

не

равны

значению

функции

этой

точке:

f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) ,

то

называется

точкой

устранимого

В этом случае, положив

f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в

разрыва.

точке x0 так, чтобы

она стала

непрерывной

(доопределить

функцию

по

непрерывности).

Разность

f (x0 + 0) − f (x0 −0)

называется скачком функции в точке

x0 .

Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю;

2) точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и

f (x0 + 0) .

Свойства функций,непрерывных в точке.

1. Если функции	f (x)	и g(x) непрерывны в	точке x0 ,	то функции
f (x) ± g(x), f (x)g(x) и	f (x)	(где g(x) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x .

	g(x)			0

2. Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u)				непрерывна
в точке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 .
3. Все основные элементарные функции (c , xa ,			ax , loga x ,	sin x , cos x ,
tg x , ctg x, sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x ,			arcctg x ) непрерывны в

каждой точке своих областей определения.

Из свойств 1–3 следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.

178

Свойства функций,непрерывных на отрезке.
1. Пусть функция	f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда
для любого числа	C , заключенного между числами f (a)	и	f (b) ,
( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что		f (x0 ) = C
(теорема о промежуточных значениях).
2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке			[a;b] и

принимает на его концах значения различных знаков. Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 (теорема Больцано – Коши).

3.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке(1-я теорема Вейерштрасса).

4.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция достигает на отрезке [a;b] своего наибольшего и наименьшего

значений,т.е.существуюттакиеточки x1, x2 [a;b],чтодлялюбойточки x [a;b] справедливынеравенства f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) (2-ятеоремаВейерштрасса).

Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.

Решение. I способ. Пусть x0 –			произвольная точка числовой оси.
Вычислим сначала предел функции f (x)			при x → x0 , применяя теоремы о
пределе суммы и произведения функций:
lim f (x) = lim (3x2 + 2x −5) = 3( lim x)2 + 2 lim x −5 = 3x					2	+ 2x −5.
x→x0	x→x0	x→x0	x→x0	0			0

Затем вычисляем значение функции в точке x :				f (x ) = 3x		2	+ 2x −5 .
			0	0	0		0
Сравнивая	полученные	результаты, видим,		что	lim		f (x) = f (x0 ) .
				x→x0

Согласно определению это и означает непрерывность рассматриваемой

функции в точке x0 .
I I способ.	Пусть ∆x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем
соответствующее приращение функции:
∆y = f (x + ∆x) − f (x ) = 3(x + ∆x)2			+ 2(x + ∆x) −5 −(3x 2		+ 2x −5)=
0	0	0	0	0	0
= 6x ∆x + (∆x)2 + 2∆x = (6x + 2)∆x + (∆x)2 .
0		0

179

Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:

lim ∆y = lim (6x			+ 2)∆x	+ (∆x)2 = (6x	+ 2) lim ∆x + ( lim ∆x)2 = 0 .
∆x→0	∆x→0	0		0	∆x→0	∆x→0

Таким	образом,		lim ∆y = 0 , что		и означает по определению
			∆x→0

непрерывность функции для любого x0 R .

Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:

при

x < 3

x + 4x +3

f (x) =

1− x

;

f (x) =

;

5x при x ≥ 3

x +1

f (x) =

;

f (x) = arctg

x4 (x − 2)

(x −5)

Решение:

областью

определения данной

функции является вся

числовая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна.

Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:?

f (3 −0) = lim (1− x2 ) =1		−9 =8 ;	f (3 + 0) =	lim	5x =15.
x→3−0			x→3+0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны,				поэтому x = 3 – точка
разрыва I рода	функции	f (x) . Скачок	функции	в	точке	разрыва
f (3 + 0) − f (3 −0) =15 −8 = 7 .
Заметим, что	f (3) = 5 3 =15 = f (3 + 0) ,		поэтому в точке x = 3			функция

f(x) непрерывна справа;

2)функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель дроби

намножители: f (x) =		x2	+ 4x +3	=	(x +1)(x +3)	= x +3 при x ≠ −1.
			x +1		x +1

Найдем односторонние пределы функции в точке x = −1:
lim	f (x) = lim		f (x) = lim (x +3) = 2.
x→−1−0	x→−1+0			x→−1

Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка

180

устранимого	разрыва	функции	f (x) =	x2	+ 4x +3		. График	функции
					x +1

представляет собой прямую y = x +3			с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы
функция	стала	непрерывной,				следует		положить

f (−1) = f (−1−0) = f (−1+ 0) = 2 .

Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f *(x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞);

3)данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек x = 0, x = 2, в которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Рассмотрим точку x = 0.

Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает

только отрицательные значения, то f (−0) = lim	5	= −∞ = f (+0) , т.е.
	(x − 2)
x→−0 x4

точка x = 0 является точкой разрыва II рода функции f (x) .

Рассмотрим теперь точку x = 2.

Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от

рассматриваемой

точки

положительные –

справа,

поэтому

f (2 −0) = lim

= −∞,

f (2 + 0) = lim

= +∞. Как и в

x→2−0 x4 (x − 2)

x→2+0 x4 (x − 2)

предыдущем случае, в точке

x = 2 функция не имеет ни левого,

ни правого

конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода;

4) данная

функция

терпит

разрыв в точке

x = 5 . При этом

f (5 −0) =

lim arctg

= −

•

(x −5)

x→5−0

f (5 + 0) =

lim arctg

•

(x −5)

x→5+0

т.е x = 5 – точка разрыва I рода.

−

•

Скачок функции в данной точке

Рис.5.2

равен

f (5 + 0) − f (5 −0) =

−(−

π ) =π (рис. 5.2).

181

Задачи для самостоятельного решения

5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке x0 R :

а)	f (x) = c = const ;	б)	f (x) = x ;			в) f (x) = x3 ;
г)	f (x) = 5x2 − 4x +1;	д)	f (x) = sin x .
				2	+1 при x	≥ 0,
		x			+1 при x	≥ 0,	является непрерывной на
5.175. Доказать, что функция f (x) =					1 при x < 0		является непрерывной на
					1 при x < 0

всей числовой оси. Построить график этой функции.

+1 при

x ≥ 0,

5.176. Доказать, что функция f

не является непрерывной

(x) =

0 при x

< 0

в точке x = 0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график

функции f (x) .

−x

+ x +1 при x

≤

5.177. Доказать, что функция f

не является

(x) =

2x + 2 при x >

непрерывной в точке x =

1 , но непрерывна слева в этой точке. Построить

график функции f (x) .

5.178. Построить графики функций:

а)

y =

x +1

;

б) y = x +

x +1

Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций

выполнены и какие не выполнены?

sin x

, при x ≠ 0

5.179. Указать точку разрыва функции y

при x = 0

Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?

5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти

lim y и построить эскиз графика функции. Какие условия

x→±∞

непрерывности в точке разрыва не выполнены?

182

Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить график данной функции:

5.181. f (x) = − 6x . 5.183. f (x) = 4 −4x2 .

5.185. f (x) = arctg x −a a , a > 0.

5.182.

5.184.

5.186.

f(x)

=tg x .

=1 1 .

1+ 2x

=x3 − x2 .

2 x −1

Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае разрыва первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности»:

5.187. f (x) =

x3 − x2

5.189. f (x) =

x−2

−1

x−2

2x +5 при x < −1,

5.191. f (x) =

при

x > −1.

≤ x ≤

cos x при −

5.193. f (x) =

π2

−

при

< x ≤π.

5.195. f (x) =

1−x

1−e

5.197. f (x) = x3 xx2+1 x .

+ 6 +11 + 6

5.188. f (x) =	1				.
5.188. f (x) =	1				.
	1
	2	1−x		+1
5.190. f (x) =			x + 2			.
			x + 2
	arctg(x + 2)
	arctg(x + 2)

5.192. f (x) =1− xsin 1x .

5.194. f (x) =	(1+ x)n −1			, n N .
	x

	tg xarctg			1
5.196. f (x) =			x −3		.

	x(x −
		5)

5.198. f (x) = x4 − 261x2 + 25 .

183

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3324 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.201638.4 Кб21Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб93Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб60Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf
#
20.02.20162.82 Mб243Высшая математика.Практикум.pdf
#
20.02.20161.59 Mб126Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf
#
20.02.201636.86 Кб14высшка 3 семестр примерный перечень вопросов.doc
#
20.02.201619.69 Кб24Выш мат.docx