- •Оглавление
- •Введение
- •1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
- •1.1. Предел и непрерывность функций многих переменных
- •1.1.1. Понятие функции многих переменных
- •1.1.2. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных
- •1.1.3. Предел функции двух переменных в точке
- •1.1.4. Непрерывность функции двух переменных
- •1.2. Дифференцируемость функции многих переменных
- •1.2.1. Частные производные
- •1.2.2. Дифференцируемые функции
- •1.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных
- •1.2.5. Производные высших порядков
- •1.3. Экстремум функции многих переменных
- •1.3.1. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.4.1. Понятие эмпирической формулы
- •1.4.2. Выравнивание экспериментальных данных по прямой
- •1.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе
- •1.4.4. Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе
- •2. Интегральное исчисление
- •2.1. Неопределенный интеграл
- •2.1.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла
- •2.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •2.1.4. Непосредственное интегрирование. Поднесение под знак дифференциала
- •2.2. Основные методы интегрирования
- •2.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •2.2.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •2.2.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •2.2.4. Интегрирование по частям
- •2.2.5. Интегрирование рациональных функций
- •2.3. Определенный интеграл
- •2.3.1. Определение определенного интеграла
- •2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций
- •2.3.3.Свойства определенного интеграла
- •2.3.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.3.7. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •2.4.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •3.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и его решения
- •3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.2.1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения
- •3.2.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •3.3.1. Постановка задачи Коши и понятие общего решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.3.2. Свойства решений линейных однородных уравнений
- •3.3.3. Решение однородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4. Ряды
- •4.1. Числовые ряды
- •4.1.1. Понятие числового ряда и его сходимости
- •4.1.2. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •4.1.3. Необходимый признак сходимости ряда и его следствие
- •4.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
- •4.1.5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •4.1.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •4.2. Степенные ряды
- •4.2.1. Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •4.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля
- •4.2.3. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда
- •4.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды
- •Вопросы для повторения и тренировочные задания
- •1. Функции многих переменных
- •2а. Неопределенный интеграл
- •2б. Определенный интеграл
- •3: Дифференциальные уравнения
- •4. Ряды
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УО «Белорусский государственный экономический университет»
Е.И. Шилкина, М.П. Дымков, В.А. Рабцевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-практическое пособие
Часть 2
Минск 2014
Рекомендовано кафедрой высшей математики
Шилкина, Е.И.
Высшая математика: Часть 2. Учеб.-практ. пособие / Е.И. Шилкина, М.П. Дымков, В.А. Рабцевич. Мн.:
БГЭУ, 2014.― 167 с.
Оглавление |
|
Введение...................................................................................................... |
6 |
Общие рекомендации студенту по работе над математическими курсами ... |
7 |
Основные теоретические сведения....................................................... |
8 |
1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ........ |
8 |
1.1. Предел и непрерывность функций многих переменных ............. |
8 |
1.1.1. Понятие функции многих переменных.................................. |
8 |
1.1.2. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных .. |
9 |
1.1.3. Предел функции двух переменных в точке ......................... |
10 |
1.1.4. Непрерывность функции двух переменных ........................ |
12 |
1.2. Дифференцируемость функции многих переменных................ |
13 |
1.2.1. Частные производные ............................................................ |
13 |
1.2.2. Дифференцируемые функции ............................................... |
16 |
1.2.3. Полный дифференциал функции многих переменных....... |
18 |
1.2.4. Приложения полного дифференциала в приближенных |
|
вычислениях...................................................................................... |
19 |
1.2.5. Производные высших порядков............................................ |
20 |
1.3. Экстремум функции многих переменных................................... |
21 |
1.3.1. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума .. |
22 |
1.3.2. Достаточные условия экстремума ........................................ |
25 |
1.4. Метод наименьших квадратов ..................................................... |
26 |
1.4.1. Понятие эмпирической формулы ......................................... |
27 |
1.4.2. Выравнивание экспериментальных данных по прямой ..... |
29 |
1.4.3. Выравнивание экспериментальных данных по параболе... |
30 |
1.4.4. Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе.31 |
|
2. Интегральное исчисление.................................................................... |
32 |
2.1. Неопределенный интеграл............................................................ |
32 |
2.1.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла...... |
32 |
2.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла ................ |
33 |
2.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов................. |
34 |
2.1.4. Непосредственное интегрирование. Поднесение под знак |
|
дифференциала ................................................................................. |
36 |
2.2. Основные методы интегрирования.............................................. |
39 |
2.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле............... |
40 |
2.2.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций..... |
42 |
2.2.3. Интегрирование тригонометрических функций ................. |
43 |
3
2.2.4. Интегрирование по частям .................................................... |
45 |
2.2.5. Интегрирование рациональных функций ............................ |
48 |
2.3. Определенный интеграл ............................................................... |
52 |
2.3.1. Определение определенного интеграла ............................... |
53 |
2.3.2. Необходимое условие интегрируемости функций. Классы |
|
интегрируемых функций ................................................................. |
55 |
2.3.3.Свойства определенного интеграла....................................... |
56 |
2.3.4. Существование первообразной у непрерывной функции. |
|
Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница............................. |
58 |
2.3.5. Замена переменной в определенном интеграле .................. |
60 |
2.3.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле ...... |
62 |
2.3.7. Геометрические приложения определенного интеграла .... |
63 |
2.3.8. Приложения определенного интеграла в экономике.......... |
70 |
2.4. Несобственные интегралы............................................................ |
71 |
2.4.1. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.71 |
|
2.4.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций... |
74 |
3. Дифференциальные уравнения ........................................................... |
76 |
3.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-го |
|
порядка и его решения......................................................................... |
76 |
3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка....................... |
79 |
3.2.1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка и |
|
его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего |
|
решения ............................................................................................. |
79 |
3.2.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с |
|
разделяющимися переменными...................................................... |
82 |
3.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка................ |
83 |
3.2.4. Однородные дифференциальные уравнения первого |
|
порядка .............................................................................................. |
85 |
3.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с |
|
постоянными коэффициентами........................................................... |
87 |
3.3.1. Постановка задачи Коши и понятие общего решения для |
|
линейного дифференциального уравнения второго порядка....... |
87 |
3.3.2. Свойства решений линейных однородных уравнений.............. |
88 |
3.3.3. Решение однородных линейных уравнений второго |
|
порядка с постоянными коэффициентами ..................................... |
88 |
3.3.4. Решение неоднородных линейных дифференциальных |
|
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.... |
90 |
4. Ряды ....................................................................................................... |
95 |
4.1. Числовые ряды............................................................................... |
95 |
4.1.1. Понятие числового ряда и его сходимости.......................... |
95 |
4
4.1.2. Простейшие свойства сходящихся рядов............................. |
97 |
4.1.3. Необходимый признак сходимости ряда и его следствие .......... |
98 |
4.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с |
|
неотрицательными членами ............................................................ |
99 |
4.1.5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная |
|
сходимость ...................................................................................... |
102 |
4.1.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ................. |
104 |
4.2. Степенные ряды........................................................................... |
105 |
4.2.1. Понятие функционального ряда и его области сходимости.... |
105 |
4.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля........................................ |
106 |
4.2.3. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда........ |
106 |
4.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых |
|
элементарных функций в степенные ряды .................................. |
108 |
Вопросы для повторения и тренировочные задания........................... |
111 |
Вопросы для повторения и тренировочные задания .................... |
111 |
1. Функции многих переменных ....................................................... |
111 |
Тренировочное задание № 1.......................................................... |
112 |
Решение тренировочного задания № 1......................................... |
113 |
2а. Неопределенный интеграл.......................................................... |
119 |
Тренировочное задание № 2а........................................................ |
122 |
Решение тренировочного задания № 2а....................................... |
123 |
2б. Определенный интеграл .............................................................. |
133 |
Тренировочное задание № 2б........................................................ |
134 |
Решение тренировочного задания № 2б....................................... |
135 |
3: Дифференциальные уравнения ..................................................... |
142 |
Тренировочное задание № 3.......................................................... |
143 |
Решение тренировочного задания № 3......................................... |
144 |
4. Ряды ................................................................................................. |
151 |
Тренировочное задание №4........................................................... |
152 |
Решение тренировочного задания №4......................................... |
153 |
Вопросы к экзамену ............................................................................... |
165 |
Литература .............................................................................................. |
167 |
5
Введение
Данная книга является второй частью учебно-практического пособия по высшей математике для студентов всех форм обучения и посвящена изложению основ математического анализа и дифференциальных уравнений. Настоящее пособие основано на практическом опыте чтения математических дисциплин на различных факультетах экономического университета и в нем излагается реальный материал, изучаемый в комплексе лекционных курсов и практических (семинарских) занятий в объеме, не превышающим 100 часов. Авторы не ставят своей задачей дать полное и исчерпывающее изложение курса анализа или его отдельных частей. Основная цель ― дать общий, доступный и запоминающийся очерк основных положений и результатов, который бы легко читался и усваивался всяким желающим самостоятельно изучить данный курс в объеме, достаточном для того, чтобы ознакомиться с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики. Тем самым данное пособие будет незаменимым при подготовке студентов экономического университета и для студентов других ВУЗов, где используются типовые программы, разработанные БГЭУ для студентов экономического профиля.
Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным разделам. Данное пособие, имея относительно небольшой объем, в полной мере отвечает упомянутым требованиям ― в нем приведен необходимый минимум теоретического материала, указаны вопросы для повторения по каждому разделу, приведены тренировочные задания и их подробные решения, что в совокупности позволяет развить навыки владения математическим аппаратом и углубить понимание основных понятий математического анализа.
6
Общие рекомендации студенту по работе над математическими курсами
Основной и наиболее плодотворной формой обучения студентов-заочников является самостоятельная работа над учебным материалом, которая может быть представлена в виде следующих этапов: изучение теоретических сведений по учебникам и пособиям, решение задач, самопроверка.
При чтении учебника следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая самостоятельно рекомендуемые к решению задания, восстанавливая все промежуточные вычисления. Весьма полезным является краткое конспектирование изучаемого теоретического материала с выделением в конспекте важнейших формул. Как правило, при сдаче экзамена или зачета, в случае необходимости разрешается воспользоваться таким конспектом.
Чтение учебника или пособия должно сопровождаться решением задач. Решение каждой задачи должно содержать обоснование каждого ее этапа и должно быть доведено до ответа. При этом следует обращать серьезное внимание на правильность арифметических вычислений. Задачи заданного типа необходимо решать до приобретения твердых навыков и только в случае полной уверенности в отработке приемов решения задач данного типа можно пропускать однотипные примеры.
Самопроверка состоит в ответе на теоретические вопросы и решение тренировочных заданий, не заглядывая в ответ. Не стоит расстраиваться и паниковать, если какие-то задания не будут сразу получаться. Нужно попытаться выяснить, из-за чего конкретно не получается правильный ответ, найти аналогичное задание в литературе, а лишь потом обращаться за консультацией, если есть в этом необходимость.
Завершающим этапом изучения курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
7