4.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

∞

∑an = a1 +a2 +...+ an +...

(4.5)

n=1

и

∞

∑bn = b1 +b2 +...+bn +...

(4.6)

n=1

Если для всех n , и ли начиная с некоторого номера

n = N ,

∞

2n

Пример 4.3.

Исследовать ряд

∑n=1

на сходимость.

1+ 22n

Решение. Сравним

данный

ряд с геометрическим

рядом

∞

1

∑

, который сходится как геометрический ряд со знаменателем

n

n=1 2

q =

1

<1. Имеем

2n

<

2n

=

1

для

всех

n ,

значит,

на

2

1+ 22n

22n

2n

основании теоремы 4.4 ряд сходится.

∞

1

Пример 4.4.

Исследовать ряд ∑

на сходимость.

ln(n +1)

n=1

Решение.

Сравним

данный

ряд

с

расходящимся

∞

1

1

1

гармоническим

рядом

∑

.

Поскольку

>

и

n +1

ln(n +1)

n +1

n=1

∞

гармонический ряд

∑n=1

1

расходится, то на основании теоремы

n +1

∞

1

4.4 заключаем, что ряд ∑

расходится.

n=1 n +1

Теорема 4.5 (второй признак сравнения). Если существует

конечный,

отличный от нуля, предел lim an

= L,

L ≠ 0, L ≠ ∞, то

n→∞ b

n

ряды (4.5) и (4.6) сходятся или расходятся одновременно.

∞

2n −1

Пример 4.5. Исследовать на сходимость ряд

∑

.

n

2

−3n +5

n=1

∞

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом ∑1 ,

который расходится. Имеем

n=1 n

1

n

2

lim

an

= lim

(2n −1)n

= lim

2n2 −n

= lim

(2 − n)

=

n→∞ bn

n→∞

(n2 −3n +5)

n→∞ n

2 −3n +5

n→∞

n

2

3 5

(1

− n

+ n2 )

2 − 1

lim

n

= 2 . Поскольку

2 ≠ 0, то на основании теоремы 4.5

3

5

n→∞ 1−

+

n

n2

заключаем, что исследуемый ряд расходится.

Теорема

4.6

(признак

Даламбера).

Если

для ряда

∞

an

> 0,

существует предел

lim an+1

= l,

то при

l <1 ряд

∑an,

n=1

n→∞ an

сходится,

при

l >1

ряд расходится, при

l =1

вопрос

остается

открытым ― нужно применять другие признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в

записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

∞

n!

Пример 4.6. Исследовать на сходимость ряд

∑

.

n

n=1

5

Решение. Так как a

n

=

n!

,

a

n+1

=

(n +1)!

,

5n+1

5n

то

l = lim

(n +1)!5n

n!(n +1) 5n

n +1

= ∞ . Так как

= lim

5n 5 n!

= lim

∞ >1,

5n+1 n!

5

n→∞

n→∞

n→∞

то исследуемый ряд расходится.

∞

Теорема 4.7

(признак Коши).

Если для ряда ∑an ,

an > 0,

существует предел l = lim n

an

, то при

l <1 ряд сходится, при l >1

n→∞

∞

1

(n +1)n2 .

Пример 4.7. Исследовать на сходимость ряд ∑

n

n=1

3

n

Решение. Применим признак Коши, для чего найдем

1

(n +1)n =

1 lim(1+

1)n = e .

lim n

1

(n +1)n2

= lim

3

n→∞

3n

n

n→∞

n

3 n→∞

n

3

Так как e ≈ 2,72

и

e <1,

то на основании признака Коши

3

∞

члены ряда ∑an,

an > 0,

не возрастают a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥... ≥ an ≥... и

n=1

существует

функция

f (x) , которая определена

на промежутке

[1;+∞ ), непрерывна,

не возрастает и an

= f (n),

n =1,2,...,

то для

∞

сходимости

ряда

∑an

необходимо

и достаточно,

чтобы

n=1

несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx сходился.

1

1

∞

Пример 4.8. Исследовать сходимость ряда ∑

.

(n +1)ln(n +1)

n=1

переменную

x ,

получаем

функцию

f (x) =

1

.

(x +1)ln(x +1)

Вычисляем несобственный интеграл

∞∫ f (x)dx = ∞∫

1

dx = Blim→+∞ ∫B d(ln(x +1))

=

(x +1)ln(x +1)

1

1

1

ln(x +1)

lim ln(ln(x +

1))

B

= lim (ln(ln B) −ln(ln 2)) = ∞.

B→+∞

1

B→+∞

∞

a1 + a2 +...+ an +... = ∑an

(4.7)

∞

a1 + a2 +...+ an +... = ∑| an |

(4.8)

Пример 4.9. Исследовать на сходимость ряд

cosα

+

cos2 α

+...

cos nα

+...

3

2

3

n

3

1

Решение. Данный ряд является знакопеременным. Составим

ряд из абсолютных величин данного ряда:

cosα

+

cos 2α

...+

cos nα

+… .

3

2

3

n

3

1

Члены этого ряда не превосходят соответствующих членов

ряда

1

+

1

+...+

1

+...,

который сходится,

как обобщенный

3

3

3

1

2

n

1

∞

гармонический ряд

∑

,

где

p >1. Значит,

по теореме Коши,

p

n=1

n

∞

∞

2) Рассмотрим

два ряда ∑an

и ∑bn . Произведением рядов

n=1

n=1

называется ряд из

всевозможных попарных произведений, взятых в

∞

некотором порядке

∑apk bqk

. Если этот ряд (из произведений рядов)

k =1