Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Вопросы для повторения и тренировочные задания

1.Функции многих переменных

1.Приведите примеры функций двух, трех и n переменных.

2.Дайте определение функции многих переменных.

3.Что называется областью определения и областью значений функции многих переменных?

4.Какое множество называется графиком функции многих переменных?

5.Что называется линией уровня функции z = f (x, y) ?

6.	Какая последовательность точек	M1, M 2 ,...M n ...	называется
сходящейся к точке M0 ?
7.	Дайте определение предела функции z = f (x, y)		в точке

M0 (x0 , y0 ) .

8.Сформулируйте теоремы об арифметических операциях над пределами функций двух переменных.

9.Приведите определение непрерывности функции z = f (x, y) в

точке M0 (x0 , y0 ) .

10. Какие теоремы о свойствах непрерывных в точке M0 (x0 , y0 ) функциях Вы знаете?

11.Приведите определение частных производных по x по y для функции z = f (x, y) . Как они обозначаются?

12.Сформулируйте правило для нахождения частных производных по x и по y ?

13.Как определяется полное приращение функции z = f (x, y) в точке

M0 (x0 , y0 ) ?

14. .Приведите определение функции, дифференцируемой в точке

M0 (x0 , y0 ) .

15. Сформулируйте теорему о достаточном условии дифференцируемости функции z = f (x, y) .

16.Приведите формулу приближенного вычисления функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ) с помощью полного дифференциала.

111

17.Как определяются частные производные второго порядка функции z = f (x, y) ?

18.Приведите определения строгого минимума и строго максимума функции z = f (x, y) в точке Mo (xo , yo ).

19.Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума функции двух переменных.

20.Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции двух переменных.

21.В чем состоим суть метода наименьших квадратов получения параметров эмпирических формул?

22.Приведите нормальную систему метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой.

23.Приведите нормальную систему метода наименьших квадратов при выравнивании по параболе.

24.Приведите нормальную систему метода наименьших квадратов при выравнивании по гиперболе.

Тренировочноезадание № 1

1. Для

функции

полезности

двух

переменных

u = (x1, x2 ) =

, где

X = (x1, x2 ) −

набор товаров двух видов,

u(X ) = u(x1, x2 ) − субъективная числовая оценка

данным

индиви-

дом полезности

u набора X вычислить:

∂u

а) частные производные первого порядка

;

∂x

б) частные производные второго порядка

∂2u

∂

∂2u

;

∂x2

∂x

в) полный дифференциал du ;

г) с помощью полного дифференциала приближенно вычислить полезность набора X = (24; 10).

2. Пусть производственная функция есть функция КоббаДугласа y =1000K12 L13. Найти среднюю и предельную производи-

112

тельность труда, среднюю и предельную фондоотдачу, эластичность выпуска по труду и по фондам.

3.	Найти полный дифференциал функции z = f (x, y),				если
		x			г) z = xy .
а)	z = x2 y3 +	x	; б)	z = 2x3 + y4 ; в) z = arctg(x − y);
а)	z = x2 y3 +	y	; б)	z = 2x3 + y4 ; в) z = arctg(x − y);
		y

4.Исследовать функцию z = xy(1− x − y) на экстремум.

5.Вычислить приближенно 4,032 + 2,992 .

Решение тренировочного задания№ 1

а)

∂u

= (

)′x ,x =const =

(

)′ =

;

2 x1

∂x1

∂u

= (

)′x

,x =const =

Здесь при нахож-

∂x2

дении частной производной по

переменную

x2 считаем посто-

янной, а постоянный множитель выносится за знак производной. Аналогично вычислялась частная производная по x2 .

∂2

′

∂

б)

∂x

x , x

=const

−1 2

′

−3 2

)

−

= −

;

x13

∂2

′

∂

∂x2

, x

=const

∂x2

−1 2

′

−3 2

−

= −

;

)

x23

113

∂2
∂2		u			∂			x						1				1						1
		u		=				1				=		1				1			=			1			;
∂x	∂x			=	∂x							=									=						;
∂x	∂x		2		∂x		2		x		2		2		x	2	2		x				4	x x	2
1			2		1						2					2				1				1	2
∂2u
∂2u					∂			x2						1				1						1
				=								=										=				.
∂x	∂x			=	∂x							=										=				.
∂x	∂x				∂x	2	2			x			2		x		2		x	2			4	x x	2
2		1				2					1			1						2				1	2

в) используя формулу для нахождения полного дифференциала:

du =

∂u

dx +

∂u

, получим

du =

dx +

∂x

2 x

г) используя формулу

∂u

(x10 , x20 )∆x2

u(x10 + ∆x1, x20 + ∆x2 )≈ u(x10 , x20 )+

(x10

, x20 )∆x1 +

∂x

и выбирая в качестве

(x10 , x20 ) такую точку,

в которой значения

функции и ее частных производных вычисляются легко и эта точка

близка				к	точке		(24,						10),			получим:								x0		+ ∆x = 24			, x0	+ ∆x	2	=10 ,
																						1				1			2		2
x0	= 25		, ∆x = −1,					x0			=		9 , ∆x				2	=1.
1					1				2								2

		∂							x		2								25
		u		(x10	, x20 )=						2							=	25				= 5			;
		∂x
							2			x									2	9
							2			x					=25,x0			=9	2	9		6
	1										1		x0		=25,x0			=9
													1				2

		∂								x											9						3
		u		(x10 , x20 )=							1							=			9				=		3	;


		∂x2					2				x2								2	25						10
		∂x2					2				x2			x	0 =25,x			0 =9	2	25						10
	u(x10 , x20 )=												1					2
												= 5 3 =15 .
						25					9	= 5 3 =15 .
	Тогда				u(24,10)≈15 +										5	(−1)+			3	1 =14,467 .
	Тогда				u(24,10)≈15 +										6	(−1)+			10	1 =14,467 .
															6				10
	Таким образом, полезность набора X = (24; 10)																												оставляетс

14,467 единиц.

2. Производственная функция Кобба-Дугласа, наиболее из-

вестная из производственных функций, имеет вид: y = AKα Lβ , где A, α, β − неотрицательные константы и α + β ≤1; K − объем фон-

дов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном исчислении, например, количество станков; L − объем трудовых ресурсов,

114

например, число рабочих; y −выпуск продукции в стоимостном выражении. Величина l = Ly называется средней производительно-

стью труда, т.е. это количество продукции (в стоимостном выражении), произведенное одним рабочим. В нашем случае

l =	1000K 12 L13	=	1000K 12		. Величина y′L =	∂y	называется предель-
	L			L23		∂L

ной производительностью труда, т.к. частная производная от про-

изводственной функции по объему трудовых ресурсов приблизительно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим. В нашем случае

	∂y		12		13	′			1	1	−	2		1000		K	1	2
									1			2
									2			3
		= 1000K		L			L ,K =const	=1000 K			L		=			L23			.
	∂L	= 1000K		L			L ,K =const	=1000 K		3	L		=	3					.
	∂L									3				3	y
Средней фондоотдачей называется величина														k =	y	,	т.к. это
Средней фондоотдачей называется величина														k =	K	,	т.к. это
															K

количество продукции (в стоимостном выражении), приходящееся

на один станок. В нашем случае k =	1000K 1	2 L13	=	1000L13			. Вели-
	K				K	12

чина y′K = ∂∂Ky называется предельной фондоотдачей, т.к. частная

производная от производственной функции по объему фондов приблизительно равна добавочной стоимости продукции, произведенной на одном дополнительном станке. В нашем случае

y′

∂y

′

−12

1000L13

500L13

= 1000K

K ,L=const =1000 L

2K 1

∂K

K 12

Эластичностью выпуска продукции по труду называется ве-

∂y

1000K 12

3 L23

личина E

∂L

. В нашем случае E

1000K 12 L−23

115

И, наконец, эластичностью выпуска продукции по фондам

∂y

500L13

E y =

K 12

= 1 .

называется величина

∂K

Таким образом,

1000K 12 L13

параметры

α и β

производственной функции

Кобба-Дугласа

y = AKα Lβ

имеют ясный экономический смысл:

α −это эластич-

ность выпуска по фондам;

β − это эластичность выпуска по труду.

Заметим, что эластичность выпуска по фондам показывает, на сколько процентов возрастет выпуск продукции, если фонды возрастут на 1 %, а эластичность выпуска по труду показывает, на сколько процентов возрастет выпуск продукции, если число рабочих увеличится на 1%.

3. Используя выражение для полного дифференциала: dz = ∂∂xz (x, y)dx + ∂∂xyz (x, y)dy , находим:

∂z

x ′

′

а)

x,y=const = y

)x +

(x)

= 2xy

;

∂x

∂z

−1

= x2 y

3 +

= 3x2 y2

+ x

3x2 y2 −

∂y

,x=const

Таким образом, dz =

2xy3 +

dx +

2 y2 −

dy .

∂z

= (

)′x,y=const

б) z =

2x3 + y4 ,

2x3 + y4

= [используем правило

∂x

вычисления производной сложной функции] =

(2x3 + y4 )' =

;

2 2x

+ y

2 2x

+ y

∂z

= (

)

′

(2x3 + y4 )y′ =

2x3 + y4

∂y

y, x=const

2x3 + y4

116

4y3

2y3

. Тогда dz =

3x3dx + 2y3dy

2 2x3 + y4

2x3 + y4

2x3

+ y4

в)

z = arctg(x − y);

∂z

′

∂x

= (arctg(x

− y))

x,y=const

− y) x

;

1+(x − y)2

∂z

′

−1

= (arctg(x − y))

y ,x=const

− y) y

∂y

1+(x − y)2

Тогда dz =

dx −dy

1+(x − y)2

г)

z = xy ; ∂z

= (xy )′x,y=const

= yxy−1 ;

∂z

= (xy )′y ,x=const

= xy ln x .

∂y

∂x

Тогда dz = yxy−1dx + xy ln x dy .

4. Функция z = xy(1− x − y) определена всюду на R2 . Вычислим частные производные

∂z	= (xy − x2 y − xy2 )′x,y=const	= y −2xy − y2 = y(1−2x − y),
∂x
∂z	= (xy − x2 y − xy2 )′y ,x=const	= x − x2 −2xy = x(1− x −2y). Частные
∂y	= (xy − x2 y − xy2 )′y ,x=const	= x − x2 −2xy = x(1− x −2y). Частные
∂y

производные существуют всюду и непрерывны. Для нахождения критических точек решим систему:

				x = 0,

				y = 0,
∂z
∂z	= 0,			y = 0,
∂x	= 0,	y(1	−2x − y)= 0,
∂x		y(1	−2x − y)= 0,	1− x −2y = 0,
∂z
∂z	= 0,	x(1− x −2y)= 0,		x = 0,
	= 0,	x(1− x −2y)= 0,		x = 0,
∂y					− y = 0,
∂y				1−2x	− y = 0,

1−2x − y = 0,1− x −2y = 0.

117

Тогда имеем четыре критических точки: M1(0; 0); M 2 (1; 0); M3 (0;1); M 4 (13;13). Находим частные производные второго по-

рядка:

∂2 z

′

(y −2xy

− y

)

= −2y ;

∂2 z

∂x2

x,y=const

′

= (x − x

−2xy)

= (1−2x −2y);

∂x∂y

x,y=const

∂2 z

′

(x − x

−2xy)

= −2x .

∂y2

y ,x=const

Найденные частные производные являются непрерывными функциями. Заполним следующую таблицу:

А, В, С,

A = ∂

B =

∂

C = ∂

∂x∂y

∂x2

∂y2

∆ = AC − B

Точки

= −2y

=1−2x −2y

= −2x

M1(0; 0)

– 1 < 0

M 2 (1; 0)

– 1

– 2

– 1 < 0

M3 (0;1)

– 2

– 1

– 1 < 0

M 4 (1 3;1 3)

– 2/3

– 1/3

– 2/3

1/3 > 0

Так как в точках M1, M 2 , M3 имеем ∆ < 0, то в этих точках экстремума нет; так как в точке M 4 имеем ∆ > 0 , то экстремум есть и поскольку A < 0, то M 4 – точка максимума. Максимум функции z = f (x, y) равен

	1		1		1	1	1		1		1	1			1
zmax = f		;		=		1−		−		=				=		.
	3				3		3				9	3			27
			3			3			3
5. Рассмотрим функцию								f (x, y) =
													x2 + y2 . Тогда искомое
число есть значение этой функции при													x = x0 + ∆x, y = y0 + ∆y .

118

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3126 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.08.201986.02 Кб16второй блок.doc
#
20.02.201696.52 Кб151Вывод по рациону питания (технология на 22.10).pdf
#
20.02.201636.85 Кб18выводы отчёт.docx
#
20.02.2016167.92 Кб36выставки в рб курсовая.docx
#
20.02.201638.4 Кб31Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб124Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб79Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб126Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб95высшая математика 3семестр.pdf
#
01.03.20251.17 Mб10Высшая математика Уч._мет. пос. 1 семестр.doc
#
01.04.2025682.5 Кб4Высшая математика Учебно-метод. пособие К.р. 2.doc