Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

3:Дифференциальные уравнения

1.Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка?

2.Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3.Запишите общий вид дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

4.Как называется дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной?

5.Какая функция называется решением дифференциального уравнения n-го порядка?

6.Запишите дифференциальное уравнение первого порядка а) в виде уравнения, разрешенного относительно старшей производной; б) в дифференциалах.

7.Что называется решением задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

8.Ознакомьтесь с формулировкой теоремы Коши и с примерами ее применения.

9.Дайте определение общего решения и общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

10.Запишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и изучите процесс интегрирования уравнений такого типа.

11.Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

12.Изучите интегрирование дифференциальных линейных урав-

нений первого порядка с помощью подстановки y(x)= u(x) v(x).

13. Какое дифференциальное уравнение называется:

а) линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

б) линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

14.Какое линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется:

а) однородным? б) неоднородным?

15.Перечислите свойства решений линейных однородных уравнение второго порядка.

142

16. Какие два решения y1(x) и y2 (x) называются линейно независимыми?

17.Как строится общее решение линейного дифференциального однородного уравнения?

18.Ознакомьтесь с методом Эйлера нахождения общего решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тренировочноезадание № 3

1. Проинтегрировать уравнения:

а) y′ = ex−y ;

б) y′ = y ln y ;

г) y′ = 2xe−x2 .

в)

x2 −1 dy −dx = 0 ;

2. Проинтегрировать уравнения и найти частные решения:

2xy

−x2

а) y′ =

, y(2)= 5

;

б) y′ = 2xe

, y(0)=1;

1+ x2

в)

xdx − 1− x2 dy = 0 ,

y(0)=1;

г)

y′ = ex , y(1)= 0.

3. Найти общее и частное решения, удовлетворяющее началь-

ным условиям:

а) y′+ y = e−x , y(0)=1;

= 3.

б)

y′− y sin x = e

−cos x

sin x ,

4. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений:

а) y′′+7 y′+10y = 0 ;	б) y′′+3y′ = 0 ;
в) y′′−6y′+10y = 0 ;	г) y′′+ 4y′+ 4y = 0 .

5. Найти общее и частное решения, удовлетворяющие начальным условиям, линейных дифференциальных уравнений:

а)

′′

+8y

′

+16y =16x

−16x +66,

y(0) = 3,

′

y (0) = 0;

б)

′′

+10y

′

+34y = −9e

−5x

′

y(0) = 0, y (0) = 6;

в)

′′

+ 2y

′

−8y = 7sin x −11cos x,

y(0) = 0;

′

y (0) =1.

143

Решение тренировочного задания№ 3

1а) Заменим y′ на	dy	и умножим обе части полученного
	dx

уравнения dydx = ex−y на ey dx . Получим ey dy = exdx . Проинтегриро-

вав, будем иметь ∫

ey dy = ∫ exdx +C , или ey = ex +C

общий ин-

теграл данного уравнения. Тогда

y = ln(ex +C) − общее

решение

данного уравнения.

1б)

= y ln y. Умножим обе части уравнения на

, счи-

y ln y

тая

пока,

что

y ln y ≠ 0.

Тогда

= dx,

или

y ln y

∫

= ∫

dx +C . Отсюда

∫

d(ln y)

= x +C ,

ln y

= x +C .

y ln y

ln y

Для удобства преобразований положим C = +ln

где C1 − про-

извольная постоянная. Тогда

ln y

= ex+ln

или

ln y

= ex

. Тогда

y = eC1ex

− общее решение данного уравнения.

При умножении на

могли быть потеряны решения y = 0 и

y =1.

Этого в дан-

y ln y

ном примере не случилось, так как эти частные решения

получа-

ются из общего при C1 = −∞ и

C1 = 0 , соответственно.

1в) Умножим обе части на

. Тогда

dy −

= 0 .

−1

x2 −1

Интегрируя,

получаем

∫dy −∫

= C

или

−1

y = ln

x +

x2 −1

+ln

. Тогда,

окончательно

y = ln C

x +

x2 −1

Решения x = ±1 также удовлетворяют исходному уравнению.

144

1г)

2xe−x2 . Умножая

обе

части

на

dx ,

получаем

dy = 2xe−x2 dx.

Интегрируя,

будем иметь

∫dy =∫2xe−x2 dx +C , или

y = −∫e−x2 d(−x2 ) +C . Тогда y = −e−x2 +C −общее решение.

2а)

dy =

2xy

. Умножим обе части на dx ,

тогда

2xdx

1+ x2

Интегрируя,

получаем

∫

dyy = ∫

2xdx

или

1+ x2

= ∫

d(1+ x2 )

+ln

Значит,

= ln1+ x2

+ln

или

1+ x2

= ln

C (1+ x2 )

Тогда

общее решение исходного

уравнения

есть

y = C (1+ x2 ).

Найдем частное решение. Поскольку по усло-

вию

y(2) = 5,

то

5 = C (1+ 22 ) ,

откуда

C =1.

Значит, искомое

частное решение есть y =1+ x2 .

2б)

2xe−x2 .

Умножая

обе

части

на

dx ,

получаем

dy = 2xe−x2 dx .

Интегрируя,

будем

иметь

∫

dy = ∫ 2xe−x2 dx +C ,

y = −∫e−x2 d(−x2 ) +C ,

y = −e−x2 +C .

С учетом начальных условий

y(0) =1, получаем 1 = −e0 +C,

C = 2. Значит,

искомое частное

решение есть

y = −e−x2

+2.

2в)

xdx =

1− x2 dy. Умножим обе части уравнения на

xdx

1− x2

Тогда

= dy .

Проинтегрировав,

будем

иметь

1− x2

∫

xdx

= ∫dy +C . Поскольку

∫

xdx

= −∫d

(1− x )

= − 1− x2 ,

1− x

то

y = − 1− x2 −C . Подставляя в последнее равенство

начальные

145

условия

y(0) =1,

получаем 1 = − 1−02

−C ,

откуда

C = −2. По-

этому искомое частное решение имеет вид:

y = 2 − 1− x2 .

2г)

Умножив обе части уравнения на

получим

dy = dx

e−y dy = dx .

или

Интегрируя,

получаем

∫ e−y dy = ∫

+ln

или

e−y dy = ln

+ln

Отсюда

−e−y

= ln

. Данное выражение есть общий интеграл исходного

уравнения. Подставляя начальные условия

y(1) = 0 , получаем, что

−e−0

= ln

откуда

= −1,

C = 1

Значит, частный интеграл

−e−y

−e−y = ln

есть

= ln

или

−1.

Выражая из последнего ра-

венства y , найдем искомое частное решение. Имеем:

e−y

=1−ln

− y = ln(1−ln

y = −ln(1−ln

3а)

y′+ y = e−x . Данное уравнение является линейным диффе-

ренциальным

уравнением первого порядка.

Решим его заменой

y = uv,

′

Тогда

′

+uv = e

−x

или

= u v +uv

u v

+uv

′

+v)

= e

−x

Выберем

функцию

v = v(x)

так,

чтобы

u v +u(v

′

+v = 0.

Тогда

dx = −v или

= −dx .

Интегрируя,

получаем

= −x +C .

Полагая

C = 0 , находим v = e−x. Тогда уравнение

′

+v)

= e

−x

′ −x

= e

−x

, значит,

′

=1.

Решая

u v +u(v

принимает вид u e

последнее уравнение и находя затем y = uv,

получаем

=1, du = dx , ∫du = ∫dx +C , u = х + С.

у = (х + С)е-х –

Следовательно,

общее решение исходного

уравнения. Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям у (0) =1:

146

1 = (0 + С) е-0 . Тогда 1 = С ◌1,ּ С = 1. Значит, искомое частное

решение есть у = (х + 1)е-х .

3б)

y′− y sin x = e−cos x sin x.

Выполняя

замену

y = uv,

′

, получаем

′

−uvsin x

= e

−cos x

sin x или

= u v +uv

u v

+uv

′

−v sin x) = e

−cos x

sin x . (*)

u v +u(v

Пусть

v = v(x) −какое-либо

частное

решение

уравнения

v′−v sin x = 0.

Тогда

= v sin x ,

= sin xdx, ∫

dv = ∫

sin xdx,

= −cos x,

v = e−cos x . Подставляя найденное v в уравнение ( ),

будем

иметь

′ −cos x

= e

−cos x

sin x

или

′

= sin x,

u e

= sin x,

du = sin xdx, ∫du = ∫sin xdx +C,

u = −cos x +C .

Тогда

общее

решение

исходного

уравнения

есть

y = uv;

y = (−cos x +C)e−cos x .

Учитывая

начальные

условия

−cosπ

= 3,

получаем уравнение для C: 3 = −cos

2 , т.е.

3 = (−0 +C)e0 ,

C = 3.

Тогда искомое частное решение исходного

уравнения есть y = (3 −cos x)e−cos x .

4а)

y′′′+7 y′+10y = 0 . Данное уравнение есть линейное диф-

ференциальное однородное уравнение второго порядка с постоян-

ными коэффициентами. Заменяя

y′′на

λ2 ,

y′

на λ,

на 1,

з а-

писываем

соответствующее

характеристическое

уравнение

λ2 +7λ +10 = 0. Корни этого уравнения есть

= −2,

= −5 . То-

гда общее решение есть

y = C e−2x +C

e−5x .

4б)

y′′+3y′ = 0 .

Характеристическое

уравнение

есть

λ2 +3λ = 0,

λ(λ +3) = 0 , поэтому

λ =

= −3 . Общее решение

есть y = C e0x +C

e−3x или y = C

e−3x .

4в) y′′−6y′+10y = 0 . Составляем характеристическое уравнение λ2 −6λ +10 = 0. Дискриминант этого уравнения отрицателен:

D = b2 −4ac = 36 −40 = −4 .	Полагаем	D = 4i2 ,	тогда
	147

λ1,2 = 6 ±22i = 3 ±1i . Согласно теории, общее решение в случае

D < 0 имеет вид y = eαx (C

cos βx +C

sin βx) ,

где α ± βi –

корни характеристического уравнения. В нашем

случае

α = 3,

β =1, поэтому y = e3x (C cos x +C

sin x)

–

общее

решение исходного дифференциального уравнения.

4г)

y′′+ 4y′+ 4y = 0 .

Соответствующее характеристическое

уравнение

есть

λ2 + 4λ + 4 = 0 .

Его дискриминант

D = b2 −4ac = 42 −4 1 4 = 0

, значит,

λ = λ

= −2. В это

случае

общее решение имеет вид y = (C +C

x)e−2x .

5а)

y′′+8y′+16y =16x2 −16x +66. Общее решение неоднородно-

го уравнения ищем как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е. Y = y + y* . Решаем

однородное

уравнение

y′′+8y′+16y = 0 .

Его

характеристическое

уравнение

есть

λ2 +8λ +16 = 0.

Так как

D = 82 −4 16 = 0, то

λ = λ

= −4 и

y = (C +C

x)e−4x . Частное решение y* неоднородно-

го

уравнения

y′′+8y′+16y =16x2 −16x +66

ищем

в виде

y* = ax2 +bx +c , где

a, b и c

– неопределенные коэффициенты.

′

2ax +b

′′

= 2a

′

′′

Находим y* =

, y*

и подставляем y* , y* и

y* в иско-

мое уравнение:

2a +8(2ax +b) +16(ax2 +bx +c) =16x2 −16x +66 ,

16ax2 +(16a +16b)x + 2a +8b +16c =16x2 −16x +66.

Последнее равенство должно выполняться для любых значений х, поэтому, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х в левой и правой частях уравнения, получаем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения чисел a, b и c :

x2		:	16a =16;
x1 :			16a +16b = −16;

x	0	:
			2a +8b +16c = 66.
			148

Решая

эту

систему,

последовательно

находим

a =1,

b = −2,

c = 5, значит

y* = x2 −2x +5 . Общее решение ис-

ходного

уравнения

есть

Y = y + y* ,

т.е.

Y = (C

x)e−4x + x2 −2x +5 .

Найдем теперь

частное

решение,

y(0) = 3,

y (0) = 0.

По-

удовлетворяющее начальным условиям

′

скольку

′

−4x

+(C1 +C2 x)(e

−4x ′

+(x

′

или

= (C1 +C2 x) e

)

−2x +5)

Y′ = C2e−4x −4(C1 +C2 x)e−4x + 2x −2 ,

то подставляя вместо

х, Y и

Y′числа 0, 3 и 0 соответственно, получим систему алгебраических

уравнений относительно C1 и

C2 :

3 = C

+5,

= −2,

0 = C2 −4C1 −2,

C2 = −6.

Искомое частное решение исходного уравнения имеет вид

Y = −(2 +6x)e−4x + x2 + 2x −5.

5б)

y′′+10y′+34y = −9e−5x . Находим вначале общее решение

однородного

уравнения:

y′′+10y′+34y = 0 .

Его

характеристиче-

ское уравнение

есть

λ2 +10λ +34 = 0 . Отсюда

D =102 −4 34 =

=100 −136 = −36 = 36i2

и λ

−10 ±6i

= −5 ±3i =α ± βi . Поэтому

1,2

α = −5 , β = 3 и

общее

решение

однородного

уравнения

есть

y = e−5x (C cos3x +C

sin 3x). Частное решение

неоднородного

уравнения

y′′+10y′+34y = −9e−5x ищем в в иде

y* = Αe−5x . Тогда

′

−5x ,

′′

= 25Αe−5x . Подставляя

y* ,

′

′′

y* = −5Αe

y* в исходное

уравнение,

получаем:

25Αe−5x +10(−5Αe−5x )+34Αe−5x = 9e−5x .

Разделив обе части полученного равенства на

e−5x ≠ 0 ,

полу-

чаем,

что 25Α−50Α+34Α = −9Α, откуда

Α = −1,

y* = −e−5x .

Значит,

общее

решение

исходного

уравнения

есть

Y= e−5x (C1 cos3x +C2 sin 3x)−e−5x . Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0 , y′(0)= 6 .

Y′ = −5e−5x (C1 cos3x +C2 sin 3x)+e−5x (−3C1 sin 3x +3C2 cos3x)+5e−5x .

149

Подставляя в равенства для Y и Y′ вместо х, Y и Y′ числа 0, 0

и 6 соответственно, получим систему для нахождения С1 и С2 ви-
да:
0 = C −1,		C	=1,
	1	1
6 = −5C1 +3C2 +5,		C2 = 2.
Частное	решение	исходного	уравнения
Y = e−5x (cos3x + 2sin 3x)−e−5x .

5в) y′′+ 2y′−8y = 7sin x −11cos x . Находим вначале общее решение однородного уравнения: y′′+ 2y′−8y = 0 . Решая характери-

стическое уравнение λ2 + 2λ −8 = 0 , находим						λ = −4 ,	λ	2	= 2 , по-
						1		2
этому	общее решение есть y = C e−4x +C		2	e2x . Частное решение y*
	1		2
ищем	в виде y* = Αsin x +Βcos x .	Тогда				′
ищем	в виде y* = Αsin x +Βcos x .	Тогда				y* = Αcos x − B sin x ,
′′		′		и		′′
y* = −Αsin x − Β cos x . Подставляя y* ,		y*		и	y* в исходное уравне-

ние, получаем систему для нахождения чисел А и В:

−Αsin x −Βcos x +2Αcos x −2Βsin x −8Αsin x −8Βcos x = 7sin x −11cos x

или sin x(−Α−8Α−2Β)+cos x(−Β+ 2Α−8Β)= 3sin x +5cos x .

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x:

sin x : −9Α−2Β = 7, cos x : 2Α−9Β = −11.

Умножаем первое уравнение на 2, второе на 9 и складываем,

получим 4В – 81В = 14 – 99, – 85 В = – 85, В = 1, А = – 1.

Значит,

y* = −sin x +cos x , поэтому Y = C e−4x

e2x −sin x +cos x . Найдем

′

= −4C1e

−4x

+ 2C2e

−cos x −sin x и учтем, что

y(0)= 0 ,

y (0)=1.

Подставляя в равенства для Y и Y′ вместо х, Y и Y′ числа 0, 0 и 1

соответственно, получим:

0 = C

+1,

C +C

=1,

3C = 0,

1 = −4C1 + 2C2 −1,

4C1 −2C2 = −2,

2C1 −C2 = −1,

=1.

Итак, C1 = 0 , C2

=1 и поэтому искомое частное решение урав-

нения есть Y = e2x −sin x +cos x .

150

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3129 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.08.201986.02 Кб10второй блок.doc
#
20.02.201696.52 Кб145Вывод по рациону питания (технология на 22.10).pdf
#
20.02.201636.85 Кб14выводы отчёт.docx
#
20.02.2016167.92 Кб20выставки в рб курсовая.docx
#
20.02.201638.4 Кб21Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб93Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб60Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf