чает, что функция непрерывна в области D ,

а в точках M0 грани-

цы области D имеет место непрерывность в смысле определения

1.7 при условии стремления

M к M0 изнутри области D .

Теорема 1.5 (Вейерштрасса). Если функция

z = f (M ) непре-

рывна на ограниченной замкнутой области

D ,

то она ограничена

на этой о

бласти (

f (M )

< K )

и достигает

в

некоторых точках

M1(x1, y1)

и M2 (x2 , y2 ) своих наибольшего и наименьшего значе-

f (M1) = max f (M ) и

f (M2 ) = min f (M ) .

M D

M D

ми значениями

A и B , A < B принимает и все промежуточные

значения C :

f (x0 , y0 ) = C , где

(x0 , y0 ) ― некоторая

точка

D ,

A < C < B .

1.2. Дифференцируемость функции многих переменных

1.2.1. Частные производные

D R2

Пусть функция z = f (x, y)

определена в области

и

точка M0 (x0 , y0 ) D .

Определение 1.9. Частным приращением функции z

по пере-

менной x в точке M0 называется разность

x z = f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 )

(1.1)

Определение 1.10. Частной производной функции z = f (x, y)

по переменной x в точке M0 (x0 , y0 ) называется предел (если

он

существует) отношения частного приращения функции z

по x

к

вызвавшему его приращению независимой переменной

x , когда

x → 0 :

lim

∆x z

(1.2)

∆ x→0

∆ x

Частная производная по x в точке M0 (x0 , y0 ) обозначается

любым из следующих способов :

∂z

,

∂f (x0 , y0 )

,

z′x

x=x

,

fx′(x0 , y0 ) .

∂x

M 0

∂x

y=y0

0

Аналогично определяется частная производная функции

z = f (x, y)

по переменной y :

∂f (x , y )

∆ y z

0

0

=

lim

, где

y

z = f (x ,

y

+

y) − f (x , y ) .

(1.3)

∂y

y→0 ∆ y

0

0

0

0

Пример 1.3. Вычислить по определению частные производные

функции

z = x2 −3xy + 2y2

в точке M0 (1,2) .

Решение.

Имеем f (x, y) = x

2 −3xy + 2y2 , f (x , y

) = f (1,2) =

0

0

=12 −3 1 2 +2 22 = 3 ; f (x + x, y ) = f (1+ x, 2) = (1+ x)2 +

0

0

3(1+

x)2 + 2 22 =1+ 2

x +(

x)2 −6 −6

x +8 = 3 −4

x +(

x)2 ;

x

z = f (x + x, y ) − f (x , y ) = 3 −4 x +( x)2 −3 = −4 x + (Δx)2 .

0

0

0

0

Тогда, согласно (1.2), имеем:

−4∆ x +(∆ x)2

∂z

=

lim

=

lim

(−4 +

x) = −4 .

∂x

∆ x

M 0

x→0

x→0

Аналогично вычисляем

y

z =

f (x , y

+

y) − f (x , y

) =

f (1, 2 +

y )−3 =12 −3 1(2 +

y) +

0

0

0

0

∂z(M

0

)

=

lim

∆y z

=

lim

5∆y + 2(∆y)2

=

lim

(−5 + 2

y) = 5.

∂y

∆ y

∆ y

y→0

y→0

y→0

∂z

Ответ:

∂z

= −4 ;

= 5 .

∂x

M

∂y

M

0

0

Для нахождения частных производных функции

z = f (x, y)

Пример 1.4. Вычислить частные производные

∂z

и ∂z в про-

∂x

∂y

извольной точке M (x, y) для функции

f (x, y) = x2 −3xy + 2y2 и

затем найти их значения ∂z(M0 )

и

∂z(M0 ) , если

M0 (1,2) .

∂x

∂y

Решение.

Имеем :

∂z

= (x

2

−3xy + 2y

2

′

=

∂x

)x,y−const

= (x

2

′

′

(2y

2

′

=

′

)x, y−const −

(3xy)x, y−const +

)x, y−const

2x −3y(x) +0 = 2x −3y .

Тогда

∂z(M0 (1; 2))

= 2 1−3 2 = −4 .

∂x

Далее:

∂z

= (x

2

−3xy + 2y

2

′

=

∂y

)y,x−const

= (x

2

′

′

2

′

3x + 4y .

)y,x−const −(3xy)y,x−const +(2y

)y,x−const = 0 −

Значит,

∂z(M0

(1; 2))

= −3 1+ 2 4 = 5.

∂y

Ответ: ∂z

= 2x −3y,

∂z

= −3x + 4y,

∂z = −4 ,

∂z

= 5 .

∂x

∂y

∂x

∂y

Аналогично (1.2) и (1.3)

определяются частные производные

∂z

,

∂z

, …,

∂z

для функции многих переменных

∂x

∂x

∂x

1

2

n

z = f (x1, x2 ,..., xn ) .

Например,

∂z

= lim

∆ x z

(1.4)

1

∂x

∆x1→0

∆ x

1

1

z = f (x0 + x, y0 + y) − f (x0, y0 )

(1.5)

Определение 1.2. Функция z = f (x, y)

называется дифферен-

z (M0 ) = A(x0, y0 )

x + B(x0 , y0 ) Δy+

+α 1( x,

y) x + α 2( x, y) y (1.6)

где коэффициенты

A(x0, y0 )

и

B(x0, y0 )

не зависят от

x

и

y , а

функции α1(

x,

y) и α 2(

x,

y)

являются бесконечно малыми при

условии, что величина ρ =

(∆ x)2 +(∆ y)2

стремится к нулю.

Пример 1.5. Показать, что

функция

z = x2 +3xy

является

дифференцируемой в любой точке

M0 (x0, y0 ) .

Решение.

Имеем:

f (x, y) = x2 +3xy ,

f (x y )

= x 2

+3x y ,

0,

0

0

0

0

f (x + x, y + y) = (x +

x)2 +3(x +

x) (y + ∆y) =

0

0

0

0

0

= x

2 +2x

x +(

x)2 +3x y +3x

y +3

xy +3 x

y .

0

0

0

0

0

0

Тогда по (1.5) полное приращение ∆z

M0

имеет вид:

∆z

M0

= x 2

+2x

x + x2 +3x y +3x

y +3

xy +3 x

y −

0

0

0

0

0

0

−x

2

−3x y

=

(2x +3y ) x +3x

y +

x

∆x +3 x y .

0

0

0

0

0

0

Сравнивая с (1.6), заключаем, что

A(x0 , y0 ) = 2x0 +3y0 , B(x0 , y0 ) = 3x0 ,

α 1(

x,

y) = x,

α 2(

x,

y) = 3 x .