интегралы ∫ e−x2 dx (интеграл Пуассона),

∫ sin x2dx,

∫ cos x2dx

(интегралы Френеля), ∫

dx

(x > 0, x ≠1),

∫

cos x

dx,

∫

sin x

dx

ln x

x

x

2

sin2 x

1

−cos2 x

1

cos2 x

∫tg

xdx = ∫cos2 xdx = ∫

cos2 x

dx

= ∫

dx −

∫cos2 x dx =

cos2 x

= tg x +C1 − ∫ 1 dx = tg x +C1 − x +C2 = tg x − x +C.

Пример 2.2.

Найти интеграл I

и результат проверить:

I = ∫

1

2

3

3 − x

2

+

x

2

+5

+

x

2

−9

dx.

I = ∫

1

dx +2∫

1

dx +3∫

1

dx =

x2 −9

3 − x2

x2 +5

x

3

x −3

+C =

ln

= arcsin

+ 2ln

x +

x2

+5

+

2 3

x +3

3

x

1 ln

x −3

+C.

= arcsin

+ 2ln

x +

x2

+5

+

x +3

3

2

x

1

x −3

′

x +

x

2

+C

arcsin

+ 2ln

+5

+

ln

=

3

2

x +3

x

′

′

x +

x

2

= arcsin

+

5

=

3

) + 2(ln

′

′

1

′

1

x

2

2

+

2

(ln

x −3

−ln

x +3

)

=

+

(x +

x

+5)+

2

3

2

1−

x

x +

x

+

5

3

+ 1

1

1

3

1

2

1

−

=

+

1+

(2x)

+

2

(x −

3)

(x +3)

3 − x

2

3

x

+ x

2

+5

2 x

2

+5

1 (x +3) −(x −3)

+

=

1

+

2

x2 +5 + x

+

1

6

=

2

(x2

−9)

2 (x2

−9)

3

− x2

(x + x2 +5)

x2

+5

=

1

+

2

+

3

.

x2 −9

3 − x2

x2

+5

∫ dF(x) = F(x) +C

или

∫

F′(x)dx = F(x) +C .

Например,

∫ sin 2xdx = 1

∫

sin 2xd(2x) = −

1 cos 2x +C;

2

2

∫

xdx = 1 ∫

2xdx = 1

∫(1+ x2 )12d(1+ x2 ) =

1+ x2

1+ x2

2

2

1 (1+ x2 )

32

1

=

+C =

(1+ x

2

) 1+ x

2

+C;

2

3

3

2

∫

ctg xdx = ∫

cos x dx = ∫

d(sin x) = ln

sin x

+C.

sin x

sin x

Полезно запомнить такие преобразования дифференциала:

1) dx = d(x +b);

2) dx =

1 d(ax),

a ≠ 0;

a

3) dx = 1 d(ax +b),

a ≠ 0;

4)

xdx =

1 d(x2 );

a

2

5)

xndx =

1

d(xn+1);

6)

1 dx = d(ln x);

n +1

x

7)

1

dx = −d(

1);

8)

1

dx = 2d(

);

x

x2

x

x

9)

sin xdx = −d(cos x);

10) cos xdx = d(sin x);

1

dx = d(tgx);

1

dx = −d(ctgx);

11)

12)

cos2 x

sin2 x

13) exdx = d(ex );

14) axdx = d(ax ) .

ln a

Пример 2.3. Найти неопределенные интегралы с помощью

поднесения под знак дифференциала:

dx

3

б) ∫

xdx

; в) ∫

; г) ∫

dx

а)

∫cos

xdx;

.

x

4

+ 2x

2

+ 2

2

x

2

+ x −2

sin

x

3

ctg x

Решение.

а)

∫ cos3 xdx = ∫ cos2 xd(sin x) = ∫ (1−sin2 x)d(sin x) =

= ∫d(sin x) −∫sin2 x d(sin x) = sin x − sin3 x

+C.

3