Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf

Скачиваний:

193

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

5.3. а) 2,4,2,4,2,4, ;												б) −2,5,−10,17,−26, ;
в)	1	,	1	,	1	,		1	,	1	, ;	г)	1	,	1	,	1	,	1	,	1	, ;
	2		5		8								2		6						720
							11 14										24 120

д) −2, 42 ,−86 , 1624 ,−12032 , .

Какие из данных последовательностей ограничены сверху; ограничены снизу; ограничены; монотонны; строго монотонны:

5.4.

а) x

= n ;

б) x

= −

;

в) x

−

;

n +1

г) x = −n3 + 2n ;

д) x = n2 +1 ?

n2 −1

5.5.

а) x

= (−2)n ;

б) x

= 2−n ;

в) x

= n(−1)n ;

г) x

д) x

= cos

πn

;

5.2. Предел последовательности

Определение предела последовательности. Число a называется

пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует номер Nε такой, что для всех членов последовательности с номерами n > Nε , выполнено неравенство xn − a <ε .

В этом случае пишут lim x			= a или x → a .
	n→∞ n		n
Неравенство	xn − a	<ε	равносильно	двойному	неравенству

a −ε < xn < a +ε , которое означает, что точки xn , начиная с некоторого номера n > Nε , лежат внутри интервала (a −ε;a +ε ), который называется ε- окрестностью точки а.

Если последовательность, имеет предел, то она называется сходящейся (сходится к a ), в противном случае последовательность называется

расходящейся.

148

Пример 5.4. Пользуясь определением предела последовательности,

доказать, что число a = 2 является пределом последовательности x

= 2n +3 .

n +1

Для ε = 0,001 найти соответствующий номер Nε , такой, что

xn − a

<ε

для всех

xn , для которых n > Nε .

Решение. Рассмотрим любое число

ε > 0 и найдем для этого числа

номер Nε такой,

что для всех членов последовательности xn ,

для которых

n > Nε , будет справедлива цепочка

x − a

2n +3 − 2

2n +3 − 2n − 2

<ε .

n +1

Решив

последнее

неравенство относительно

n ,

получим

n > 1 −1.

Следовательно, можем положить, например,

[α]

− целая

Nε =

−1 +1 (где

α ). Таким

числа ε > 0

часть числа

образом,

показано,

что

для любого

существует

номер

Nε =

такой, что

− 2

<ε

для

всех членов

−1 +1,

последовательности с номерами n > Nε .					Согласно		определению предела
последовательности, мы доказали, что lim				2n +3		= 2 .
		n→∞		n +1
		1						xn − 2
		1
При ε = 0,001	получаем Nε =		−1 +1			=1000, т.е.			< 0,001 при
При ε = 0,001	получаем Nε =	0,001	−1 +1			=1000, т.е.			< 0,001 при
n >1000 .		0,001
n >1000 .
Бесконечно	малые и бесконечно				большие		последовательности.

Говорят, что последовательность {xn} стремится к плюс бесконечности, если

для любого сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM выполнено неравенство xn > M .

В этом случае пишут nlim→∞ xn = +∞ или xn → +∞.

Говорят, что последовательность {xn} стремится к минус бесконечности, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M существует номер NM такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM выполнено неравенство xn < M .

В этом случае пишут nlim→∞ xn = −∞ или xn → −∞.

149

Говорят, что последовательность {xn} стремится к бесконечности, если

для любого сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM

выполнено неравенство	xn	> M (последовательность {		xn	} стремится к плюс

бесконечности).
В этом случае пишут lim x			= ∞ или x → ∞. Очевидно, если lim x				= +∞
	n→∞ n		n			n→∞ n
или lim x = −∞, то можно считать также, что lim x = ∞.
n→∞ n			n→∞ n
Последовательность		{xn}	называется бесконечно			большой,	если
lim x = ∞, и бесконечно малой, если lim x = 0 .
n→∞ n			n→∞ n

Пример 5.5. Доказать, пользуясь определением, что:

1)последовательность {xn}= 1n является бесконечно малой;

2)последовательность {xn}={2n +1} является бесконечно большой.

Решение: 1)

требуется доказать,

что

lim 1

= 0 . Рассмотрим

любое

n→∞ n

число

ε > 0.

Тогда

−0

1 −0

= 1

неравенство

−0

<ε

будет

выполнено

точности

тогда, когда

<ε

т.е.

когда

1 . Положив

получим,

что

для всех

n > Nε

справедливо

неравенство

Nε =

+1,

xn −0

<ε .

соответствии с

определением

предела это

означает, что

lim 1 = 0 ;

n→∞ n

2) докажем, что lim (2n +1) = +∞. Рассмотрим любое положительное

n→∞

число	M . Неравенство			x = 2n +1 > M	будет		выполнено	при n > M −1.
				n				2
								2
Положив	M −1			получим, что	для		всех n > Nε	справедливо
Положив	Nε =	2	+1,	получим, что	для		всех n > Nε	справедливо
		2
неравенство xn > M . Это и означает, что lim (2n +						1) = +∞.
				n→∞

150

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность;

3) последовательность {xn}, все члены которойотличны от нуля,– бесконечно

малая тогда и только тогда, когда последовательность 1 – бесконечно большая

(символическиэтоможнозаписатьследующимобразом: 10 = ∞, ∞1 = 0).

Операции над пределами последовательностей:

Если nlim→∞ xn = a , nlim→∞ yn = b, то:

lim x

± y

= a ±b ;

n→∞

lim cx

= ca для любого c R ;

n→∞

lim x y

= ab ;

n→∞

lim

= a

, если b ≠ 0 ;

n→∞ yn

nlim→∞(xn )k = (nlim→∞ xn )k = ak , k N ;

lim k

= k

, k N .

n→∞

Пример 5.6. Найти следующие пределы:

lim

sin n

;

2) lim

2n3 −3n +1

;

3) lim

;

3n3 + 7

n→∞

3n −1

+ 5

lim

32n10 −7

lim

−

;

n + 2

n − 2

n→∞

n→∞ (3n − 4

)3 8n3 +8

Решение: 1) последовательность xn = sin n является ограниченной, так

как

sin n

≤1

для любого

натурального n ,

поэтому ее

произведение на

151

бесконечно малую последовательность yn = 1n есть также бесконечно малая

последовательность, т.е. lim sin n = 0 ;

n→∞ n

2) числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие последовательности. В этом случае говорят, что имеет место

неопределенность

∞

Разделим числитель

знаменатель

выражения,

∞

стоящего

под

знаком

предела,

на

старшую

степень

n ,

т.е. на

n3 :

2 −

2n3 −3n +1 = lim

. Используя далее теоремы об операциях над

lim

n→∞

3n3 + 7

n→∞

пределами, получим

lim

−

lim 2

− lim

+ lim

2 −3 lim

+ lim

2 −0 + 0 =

2 ;

n→∞

n→∞ n2

n→∞ n3

n→∞ n2

n→∞ n3

lim

3 +

lim 3 + lim

+ 7 lim

3 + 0

n→∞

n→∞ n

разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень

(выбираем из двух вариантов: n2 и n2 ), т.е. на n2 :

lim

∞

= lim

n→∞

3n −1

∞

n→∞

−

n→∞

−

Последовательность, находящаяся в знаменателе дроби, есть бесконечно малая, как сумма бесконечно малых последовательностей, поэтому исходная

последовательность является бесконечно большой, т.е. lim		n3	= ∞;

n→∞	3n −1

4) помножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:

lim

(

−

lim

−

n + 2

n − 2)( n + 2 + n − 2)

n + 2

n − 2

n→∞

n + 2 + n − 2

= lim

(n + 2) −(n − 2)

= lim

n→∞

n + 2 + n − 2

n→∞

n + 2 + n − 2

152

Последовательность {n + 2 + n − 2} является бесконечно большой, поэтому

последовательность

– бесконечно малая,

значит,

n + 2 +

n − 2

lim

−

=0;

n + 2

n − 2

n→∞

5) разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n

(выбираем из n1+6 = n6 , n 5 = n2 ,

n1+3 = n2 и n4+

3 = n4 ), т.е. на n2 :

+ 5

32n10 −7

+ 5 32 −

n10

n6 n + 5 32

n10 −7

6 n5

lim

= lim

n10

= lim

n→∞ (3n − 4

)3 8n3 +8

n→∞ 3n − 4

8n3 +8

n→∞ (3 −

) 3

4 n3

0 + 5

32 + 0

=1.

(3 −0)

3 8 + 0

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательностей.

Число e . Справедливы следующие утверждения:

1)всякая сходящаяся последовательность является ограниченной;

2)всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

		1	n
Последовательность	1+	1		возрастает и ограничена сверху, а


		n

потому сходится. Ее пределом является число Эйлера e = 2,71828182845 , служащее основанием натуральных логарифмов. Таким образом,

	+	1 n
lim 1	+		= e .
n→∞		n

Пример 5.7. Найти lim 2n +1 n.

n→∞ 2n

Решение. Имеем: lim 2n +1 n = lim 1+

n→∞ 2n n→∞

1 n		1 2n	1
			2
	= lim 1+			.

2n	n→∞	2n

153

Обозначив в последнем выражении 2n = k , продолжим цепочку:

1 k 12

2n +1 n

1 k 2

= e2

= e .

lim

== lim 1+

= lim 1+

n→∞

k→∞

Задачи для самостоятельного решения

5.6. Доказать, пользуясь определением,

что число

является

пределом

последовательности xn , если:

а) x = n +1,

a =1;

б)

x = 3n +1 , a = 3;

n −5

в) x

2n − 2

, a =

;

г) x

3n2 −1

, a = 3

;

5n + 2

д) x =

3n+1 −1

, a = 3;

е)

x =

5n2

, a = 5.

n2 +

5.7. Доказать, пользуясь определением, что последовательность

является

бесконечно малой:

а) x =

;

б) x =

;

в)

x =

;

г)

x =

n −1

ln n

5.8. Доказать, пользуясь определением, что последовательность

является

бесконечно большой:

а) x = ln n ;

б) x = 3n ;

в)

x = n2 −1;

г)

x = (−1)n n2 .

Найти пределы последовательностей:

5.9. lim

n −3

5.10.

lim

n3 − 2n +5

n→∞ 6n

n→∞ 2n2 − 2n3 + 7

5.11. lim

n3 −1000n2 +1

5.12.

lim

1000n3 − 4n2

1000n2 +17n

n→∞

n→∞ 0,0001n4 +10n3 −3

5.13. lim

(n +5)4

5.14.

lim

−

−5n4

3n −1

n→∞

n→∞ n −

154

5.15. lim

2n2 +5

−

+ 4

4n +1

2n +3

n→∞

5.17. nlim→∞(3

− n).

n3 − 4n2

5.19. lim

n→∞

3n +

5.21.

lim

(3 − n)3 −(2 − n)3

(1− n)3 −(1+ n)3

n→∞

5.23. lim

(n + 2)2 −(n +5)3

(3 − n)3

n→∞

5.25.

lim

3n2

+ 4

4n12 +1

n→∞

(n + n)(7 − n + n2 )

5.27.

lim

1+ 2 + + n .

n→∞

5.29.

lim

+ +

1 3

3 5

(2n −1)(2n +1)

n→∞

5.31. lim

7n −1

7n +1

n→∞

5.33. lim n +1 n . n→∞ n −1

5.35. lim n −1 n+2 . n→∞ n +3

5.16. nlim→∞(

−3n).

9n2 + n

5.18. nlim→∞(

− 2n).

4n2 −7n + 4

5.20. nlim→∞(

−3n).

2n2 +3n

5.22.

lim

+ 2)3 −(n + 2)2

− 2)3 −(n + 2)3

n→∞

−

n2 −5

5.24.

lim

n + 6

n→∞

3 n3 +3 + 4 n3 +1

10n3 −

5.26.

lim

n3 + 2

4n6

+3 − n

n→∞

+ +

5.28.

lim

n→∞ 1+

+ +

5.30. lim

+ 22

+32 + + n2

n→∞

5.32. lim

−1

n→∞

7n +1

5.34. lim 2n +3 n+1. n→∞ 2n +1

5.36. nlim n2 2−1 n4 .

→∞ n

155

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.201638.4 Кб21Высшая матем, программа 1 семестр.doc
#
20.02.20161.66 Mб93Высшая математика - 2.Уч.-практ.пособие.pdf
#
20.02.20161.62 Mб60Высшая математика 3 семестр часть 1.doc
#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf
#
20.02.20162.82 Mб243Высшая математика.Практикум.pdf
#
20.02.20161.59 Mб126Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf
#
20.02.201636.86 Кб14высшка 3 семестр примерный перечень вопросов.doc
#
20.02.201619.69 Кб24Выш мат.docx