6.7. Исследование функций

Интервалы монотонности и точки экстремума функции. Характер монотонности функции y = f (x) на числовом интервале (a,b) определяется знаком ее производной на этом интервале: если f '(x) > 0 при всех x из (a,b) ,

то функция возрастает на (a,b), а если f '(x) < 0 при всех x из (a, b), то функция убывает на (a, b). Достаточное условие постоянства функции на интервале – равенство нулю ее производной во всех точках этого интервала.

Пусть X – область определения функции y = f (x) и x0 X . Если для всех

локальным максимумом (локальным минимумом) функции y = f (x), а сама точка x0 – точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о

«точках экстремума»).

Необходимое условие экстремума. В точках локального экстремума функции ее производная либо обращается в нуль, либо не существует (такие точки называют критическими).

Точка x0 , в которой f ′(x0 ) = 0, называется стационарной.

минимума. Если f ′(x) вокрестности точки x0 неменяетзнак,тоэкстремуманет.

Рис. 6.7

232

Второе достаточное условие экстремума. Если в точке x0 для функции

точкой экстремума.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1)убедиться в том, что f ′(x) меняет знак при х = х0 ;

2)определить знак f ′′(x0 ) ;

3)если f ′′(x0 ) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Решение. Область определения функции

максимума; x3 – точкой локального минимума; в точке x1 = 0 экстремума нет.

233

Пример 6.53. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции f (x) = 3x − x3 .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел.

этого можно ограничиться вычислением значения производной в

выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.

234

Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что fmax < fmin ).

Пример 6.55. Найти экстремумы функции f (x) = 3x2 .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел,

ее производная имеет вид f '(x) = 332x . При этом производная не определена

там, где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x = 0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком 3x , а потому и со знаком x , получаем, что слева от x = 0 (там, где x < 0 ) f '(x) < 0 , а справа f '(x) > 0 . Поэтому x = 0 – точка минимума исходной функции и fmin = f (0) = 0.

Пример6.56. Определитьтипэкстремумафункции y = x3 −3x + 7 при x =1. Решение.Точка х = 1 является критической, так как y′ = 3x2 −3x = 0 при х = 1.Таккакприx < 1 y′< 0 ,априx > 1 y′ > 0 ,тоx =1– точкаминимума.Можнобыло

установить этот факт и с помощью второй производной y′′ = 6x −3 = 3 > 0 при х = 1. Следовательно,функциявэтойточкедостигаетминимума.

Пример 6.57. Исследовать на экстремум функцию y = x5 + x3 .

Решение. Видим, что y′ = 5x4 +3x2 = x2 (5x2 +3) = 0 при х = 0.

При этом y′′ = 20x3 + 6x = 0 при х = 0, y′′′ = 60x2 + 6 = 6 ≠ 0 при x = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, то функция вообще не имеет экстремумов.

235

Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке. Пусть y = f (x) – функция, определенная на отрезке [a;b].

Если f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки x1 [a;b] и x2 [a;b], в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!).

Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма:

1.Найти первую производную f ′(x).

2.Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

Характер экстремума не определять – в этом нет необходимости!

3.Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Пример 6.58. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x3 −3x + 2 на отрезке [−2;3].

множестве [–2; 3], то на этом множестве она имеет наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо на концах отрезка [–2; 3], либо в стационарных точках. Вычисляем и сравниваем значения исходной функции в выбранных точках и на концах отрезка: f(–1)=4, f(1)=0, f(–2)=0, f(3)=20.

Таким образом, наибольшее значение данной функции на рассматриваемом отрезке равно 20, а наименьшее 0.

При решении задач практического характерапригодится следующее

Утверждение. Пусть функция y = f (x) определена на открытом

числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную

точку x0 .Если x0 – точка локального максимума, то max f (x) = f (x0 ) ; если

x (a;b)

x0 – точка локального минимума, то min f (x) = f (x0 )

x (a;b)

236

Пример 6.59. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 кг. Прибыль (в у.е.) зависит от объема выпущенного товара (x ) и определяются формулой F(x) = −x3 + 20x2 −13x − 4. Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале (1;+∞). Найдем производную этой

функции и приравняем к нулю F '(x) = −3x2 + 40x −13 = 0 . Решив квадратное уравнение, получим два корня: x1 =13, x2 = 1/ 3. Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки x1 =13, получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x) на заданном интервале:

max F(x) = F(13) = −133 + 20 132 −13 13 − 4 =1010 .

x (1;+∞)

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у.е.

Направления выпуклости графика функции. Функция называется

выпуклой на отрезке [a,b], если ее график расположен ниже любой своей касательной на этом отрезке (рис. 6.9).

Функция называется вогнутой на отрезке [a,b], если ее график расположен выше любой своей касательной на этом отрезке(рис. 6.10).

Если при переходе через точку x0 направление выпуклости меняется, то точка (x0, f (x0 )) называется точкой перегиба графика функции (рис. 6.11).

У выпуклой функции угол наклона касательной уменьшается с ростом x (вторая производная меньше нуля), у вогнутой – увеличивается ( f ''(x) > 0 ).

237

При исследовании на выпуклость рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

1.Установить область определения функции y = f (x).

2.Найти вторую производную f ''(x) .

3.Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение f ''(x) = 0 ).

4.Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если f ''(x) < 0 , то график функции направлен

выпуклостью вверх, т.е. ∩; если f ''(x) > 0 - выпуклостью вниз, т.е. ).

5. Найти точки перегиба.

Пример 6.60. Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции f (x) = x2 − x4 .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид f '(x) = 2x − 4x3 , а вторая производная f ''(x) = 2 −12x2 (она также определена при всех x). Из уравнения 2 −12x2 = 0 находим точки x1 =16 , x1 = −16 . Составляем таблицу для числовых интервалов, определяем знак второй производной и характер выпуклости

238

стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1.Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х

=а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен.

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а . Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при x → +∞ или при x → −∞ конечен,

нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при x → ∞ разности f (x) − kx . Этот предел будет равен b, так как

lim ( f (x) − kx) = b.

x→∞

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при x → −∞ и при x → +∞).

Пример 6.61. График функции y = 1/x имеет вертикальную асимптоту

239

Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая y = x + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.

Построение эскиза графика функции. Полное исследование функции проводится по следующему плану.

1.Найти область определения функции y = f (x).

2.Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность). В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при x ≥ 0 с последующим симметричным его отображением (относительно начала координатдлянечетнойфункцииилиотносительноосиOy – длячетной).

3.Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью Ox решаем уравнение f (x) = 0 ; для нахождения точки пересечения графика с осью Oy

подставляем в аналитическое выражение функции значение x = 0).

равен бесконечности, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции.

5.Найти f '(x) и с ее п омощью определить интервалы монотонности функции, точки экстремума и экстремальные значения.

6.Найти f ''(x) , с ее помощью определить направления выпуклости графика функции и найти точки перегиба.

7.Найти наклонные асимптоты графика. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b, где k и b находятся по формулам

(предполагается, что эти пределы существуют и конечны). В некоторых случаях эти пределы приходится вычислять отдельно при x → +∞ и x → −∞.

8. Собрать всю информацию и построить эскиз графика.

240

Решение. Придерживаемся предложенной схемы исследования.

1.Функция определена при всех вещественных x, кроме x = −2.

2.Область определения не симметрична относительно начала координат, поэтому свойством четности или нечетности функция не обладает (заметим, что в случае симметричности области определения необходимо проверить

выполнение одного из равенств: f (−x) = f (x) или f (−x) = − f (x). Исходная функция не является и периодической.

3. Решая уравнение f (x) = 0 , находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0, 0).

5. Необходимые расчеты, связанные с исследованием первой производной, были проведены при решении примера 6.54. В частности, была

(−4;−2) и (−2;0)

6. Найдем теперь вторую производную

241

Таким образом, прямая y =1 x − 2 = x − 2 – наклонная асимптота.

8. На координатной плоскости изображаем штриховыми линиями все асимптоты, отмечаем все точки пересечения графика с осями координат и все точки экстремума. В соответствии с этими пометками и данными о промежутках монотонности и выпуклости рисуем эскиз графика функции

(рис. 6.12).

Рис. 6.12

Задачи для самостоятельного решения

6.116. Найти интервалы монотонности и локальные экстремумы функций:

242

6.117. Найтиинтервалымонотонностииточкилокальныхэкстремумовфункций:

6.118. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков:

243

6.119. Найтинаибольшееинаименьшеезначенияфункциинауказанномотрезке:

6.120. Определить направления выпуклости и точки перегиба графика данной функции:

6.121. Провести полное исследование (включающее определение асимптот) и построить график данной функции:

6.122. Провести полное исследование функций и построить их графики:

Решить следующие задачи на экстремум.

6.133. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

6.124. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

6.125. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

244

6.126. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

6.127. Из углов квадратного листа картона размером 18×18 см2 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 6.13), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

6.128. Объем правильной треугольной призмы равен у. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

6.129. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме v каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

6.130. Найти соотношение между радиусом R и высотой h цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

6.131. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?

6.132. Из круга вырезан сектор с центральным углом α. Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла α объем полученного конуса будет наибольшим?

6.133. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

6.134. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

6.135. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1м соответственно. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы н аибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

245