y = x2 arctg

y = arccos(1

);

7)

x2 −1

;

8)

1+ 2x2

y = arctg(1+ tg x)

9)

x +

1+ 2x

;

10)

11)

y = cos x ln tg x ;

12)

y = ln tg(x 2)− x sin x ;

13)

y = ln

sin x + 2cos x

;

14)

y = arctg

x2

−1

;

x

y = ex (cos2x + 2sin 2x);

15)

16)

y = x (sin ln x −cosln x).

6.67. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1)

y =

x = 1,78;

2)

y = 3

,

x = 7,76;

4x −3,

x

y = x11,

3)

x =1,021;

4)

y =

x2

+ x +3,

x = 1,97;

5)

y = x5,

x = 2,997 ;

6)

y = 3

x2

+ 2x +5,

x = 0,97;

y = 3

7)

y = arcsin x,

x = 0,08;

8)

x3

+ 7x,

x =1,012 .

(x) в

′

каждой точке

некоторого

интервала

(т.е. дифференцируема

на

этом

интервале).

Если

производная функции

f (x)

существует,

то ее

называют

′

,

(u v)

(n)

0

(n)

1

(n−1) ′

2 (n−2)

′′

k

(n−k )

v

(k )

+...

n

(n)

,

= Cn vu

+Cnu

v +Cn u

v +...

+Cn u

+Cn uv

где Cnk =

n!

– число сочетаний из n

элементов по k ,

k = 0,1,2,...,n .

k!(n − k)!

(ax )(n) = ax lnn a (a > 0)

(в частности,

(ln x)(n) = (−1)n−1 (n −1)! x−n;

(sinx)(n)

= sin(x + nπ 2);

(cos x)(n) = cos (x + nπ 2);

4) если функция y = y(x)

задана параметрически x =φ(t),

y =ψ t

t (a,b), то

ее старшие производные yxx ,

yxxx ,

,

вычисляются по формулам

′′

′′′

′

yt′

′′

(y′x )′t

′′′

(y′′xx )′t

=

,

=

,

и т.д.

yx

xt′

yxx

xt′

yxxx =

xt′

d 2 y

=

dϕ(x, y)

= F(x, y,

dy

).

dx2

dx

dx

множитель:

d(dx)) = d 2x = 0,

d

2

y = d(dy)

′

′

′

′

′

2

′′

2

.

= d( f (x)dx)

= ( f (x)dx) dx

= ( f (x)) (dx)

= f (x)dx

Подобным же образом можно найти третий дифференциал от данной

функции: d

3

y = d(d

2

′′′

3

и дифференциалы более высоких порядков.

y) = f

(x)dx

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от

дифференциала (n –1) -го порядка:

d

n

y = d(d

n-1

y) = ( f

(n-1)

(x) dx

n-1

′

dx = f

(n)

(x)

dx

n

.

)

Пример 6.34. Для f (x) =

3x − 2

найти вторую производную (

f ''(x) ).

Решение. Сначала найдем первую производную

f '(x) = ((3x − 2)1/2 )' =

1

(3x

− 2)−1/2 (3x − 2)' =

3 (3x − 2)−1/2.

2

2

Далее воспользуемся тем, что f

′′

′

′

(x) =

( f (x))

3

−1/2

'

3

1

−3/2

3 3

f ''(x) =

2

(3x −

2)

=

2

−

2

(3x

− 2)

(3x − 2)' = −

.

4 (3x − 2)3

Решение.

Имеем y′ = cos x,

y′′ = −sin x,

y′′′ = −cos x,

y(4) = sin x ,

π

π

,

cos x = sin x +

2

,

y′ = cos x = sin x +

2

′′

π

π

y

то y(n) = sin(x + n

π ),

n =1,2,....

2

Пример 6.36. Функция задана параметрически:

y = a sin3 t,

x = a cos3 t .

dy

′

(a sin

3

′

3a sin

2

t cos t

yt

t)t

Решение.

y′x = dx

=

=

=

= −tg t,

x′

(a cos3 t)′

−3a cos2 t sint

t

t

y′′x = d 2 y

= (y′x )′t

=

=

=

.

(a cos3 t)′t

−3a cos2 t sint

3a sint cos4 t

dx2

xt′

Пример 6.37. Для данных неявных функций найти производные

указанного порядка:

Найти s (t,s) ;

б)

y = x + ln y .

Найти y

, x .

а) t − s + arctg s = 0.

′′

′′

′′

Решение: а) 1

-й

способ.

продифференцируем обе части равенства по t и найдем s′:

s′

1+ s2

1− s′

+

= 0;

s′

=

s2

=1+ s−2.

1+ s2

s

′

′′

+ s

2

′

2s s

′

1− s′+

= 0; −s′′+

s (1

) − s

= 0.

1+ s2

(1+ s2 )2

x и найдем y′ =1+

y′

y′ =

y

;

.

y

y −1

Дифференцируем последнее равенство по x и определяем y′′:

′

′

y

′

y

′′

y (y −1) − y y

=

(y −1)2

= −(y −1)2 .

Подставляя вместо y

′

получаем y

′′

y

его значение,

= −(y −1)3 .

Аналогично

найдем

x .

Дифференцируем

данное равенство по у и

′′

′

1

′

1

,

′

y −1

.

+ y

y

определяем x :

= x

x =

по уи определяем x

:

Дифференцируем полученное

равенство

′′

′′

1 y −1 (y −1)

1

y2

= y2 .

x =

Пример 6.38. Найти значение y′′xx в точке x =1, если

x3 − 2x2 y2 +5x + y −5 = 0 и y

x=1 =1.

Решение.

Продифференцировав по х, найдем, что

3x2 − 4xy2 − 4x2 yy′+5 + y′ = 0 .

Полагая, что x =1,

y = 1, получим значение у' при x=1:

3 − 4 − 4y′+5 + y′ = 0 , y′ = 4 3.

f (x) = ln(x +

а)

x2 +1) ;

б)

f (x) = sin3x sin5x ;

в)

f (x) = x(sinln x −cosln x);

г)

f (x) = cos2 2x .

1)

f (x) = ex (cos2x + 2sin 2x),

x =π 2;

0

2)

f (x) = ln(x −

x2 −1),

x = 2;

0

3)

f (x) = e−2x (2sin 4x −cos4x),

x =π 4;

0

4)

f (x) =

−(1+ x)arctg

,

x0 =1;

x

x

5)

f (x) = x + ln(1−e−x ), x

= 0.

0

1) y = sin2 x,

x

= π ;

2) y =

1 x2ex , x = 0 ;

0

2

2

0

3)

y = ln(2 + x2 ),

x = 0 ;

4)

y = ex cos x,

x

= 0 ;

0

0

5)

y = ex sin 2x,

x

= 0 ;

6)

y = e−x cos x,

x

= 0 ;

0

0

7)

y = ln(1+ x),

x0 = 2 ;

8)

y = arctg x, x0 =1.

6.71. Найти производную указанного порядка:

1)

y = (2x2 −7)ln(x −1), yIII

= ?;

2)

y = (3 − x2 )ln2 x,

yIII = ?;

3)

y = xcos x

2

,

y

III

=

?;

4)

y =

ln

(x −1)

,

y

III

=? ;

x −1

5)

y = ln2x , yIV =? ;

6)

y = (4x3 +5)e2x+1, yV =? ;

x

7)

y = x2 sin(5x −3),

yIII =?;

8)

y = (2x +3)ln2 x,

yIII = ?

6.72. Найти производную n -го порядка:

1)

y = xeax ;

2) y = sin 2x + cos(x +1);

4x + 7

3)

y = 5

e7x−1

;

4) y =

;

2x +3

5) y = lg(5x + 2);

6) y = a3x ;

7)

y =

x

;

8) y = lg(x + 4);

2(3x + 2)

9) y =

;

10) y = 23x+5 .

x

функции,заданнойпараметрически: