Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
Скачиваний:
193
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
2.91 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

6.3. Дифференциал функции

Пусть функция y = f ( x) имеет конечную производную в точке х:

 

lim

∆y

′

 

 

∆x

= f (x).

 

 

∆x→0

 

 

Тогда в точке хможно записать

∆y

′

 

∆x = f

(x) +α(∆x) , где α→0 при ∆х→0.

Следовательно, ∆y = f (x) ∆x +α(∆x) ∆x ≈ f (x) ∆x . Здесь

f (x) ∆x – главная

′

 

 

′

′

линейная относительно ∆х часть приращения ∆у, так как величина α ∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f ′(x) ∆x .

Дифференциалом функции y = f (x) в точке х называется главная

часть ее приращения, линейная относительно приращения ∆x независимой переменной. Обозначается dy или df (x) .

Из определения следует, что dy = f ′ (x ) ∆x или dy = f ′ (x ) dx , так как

дифференциал независимой переменной равен ее приращению dx =1 ∆x = ∆x .

Эта формула устанавливает связь между производной и дифференциалом функции и позволяет по таблице производных составить

таблицу дифференциалов. Так, например, d(xn ) = nxn−1dx, d(ln x) = dxx и т.д.

Пример 6.27. Найти дифференциал функции у = cos x.

Решение. По определению находим dy = d(cos x) = (cos x)'dx = −sin xdx.

Пример 6.28. Вычислить значение дифференциала функции y = x3 +5x2 ,

когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение.

Находим дифференциал

функции dy = (x

3

+5x

2

′

 

 

) dx =

= (3x2 +10x)dx.

Подставляя значения

x =1

и

dx = ∆x =1,1−1 = 0,1, получим

искомое значение дифференциала dy =

 

2(3+ 1 10 1) =0,1

 

= 13

 

208

Геометрический

смысл

дифференциала.

Из треугольника MKL (рис. 6.4)

находим: KL = dy =

tgα ∆x = y′∆x, PL=∆y.

 

 

 

 

Таким

образом,

дифференциал

функции

f (x) в точке х равен

приращению

ординаты

касательной,

проведенной

к

графику этой

функции в

точке M (x; f (x)),

при

заданном

приращении аргумента ∆x. Приращение функции

∆y есть приращение ординаты точки кривой, соответствующее приращению аргумента ∆x.

Геометрический смысл дифференциала состоит в том, что на отрезке

[x0, x0 + ∆x]

функция

f (x)

заменяется

линейной

функцией

y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) ,

график которой – касательная к графику функции

y = f ( x) в точке (x0, f (x0 )) .

 

 

 

Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Из определения дифференциала следует, что разность ∆y − dy =α(∆x)∆x является

бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x . Значит,

справедливо

приближенное равенство ∆y ≈ dy

или в подробной записи

 

 

 

 

 

f (x) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x .

 

При этом функция f (x)

для значений х, близких к х0,

приближенно

заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции. Этот прием часто используется при приближенных расчетах. Для вычисления значенияфункции f (x) взаданнойточке x выбирают такуюточку x0 ,чтобы f (x0 ) и f ′(x0 ) вычислялисьлегко,аразность ∆x = x − x0 былакакможноменьше.

Абсолютная погрешность вычислений равна ∆y − dy , а относительная

погрешность

 

∆y − dy

 

.

 

 

 

 

 

 

∆y

 

 

 

 

Пример 6.29. Найти приближенное значение

 

.

1,02

Решение.

Пусть f (x) =

x

,

x0 =1,

 

∆x = 0,02. Тогда

f (1+ 0,02)

≈ f (1) + f

′

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2

 

 

 

0,02 =1+ 0,01 =1,01.

(1) 0,02 =

1

209

Пример 6.30. Вычислить приближенно 5

2

− x

при

x = 0,15.

 

 

 

 

2

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Здесь функция f (x) = 5

2

− x

,

точка x

= 0,

∆x = 0,15,

 

 

2

+ x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 + ∆x = 0,15 , f (x0 ) = 51 =1. Найдем y = f ′(x) . Здесь удобнее воспользоваться методом логарифмического дифференцирования. Имеем

ln y =

1

(ln(2 − x) −ln(2 + x)) ;

y′

=

1

 

−1

−

 

1

 

= −

 

 

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

y

5

2 − x

2 + x

5(4

− x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

1

 

Откуда

y′ = −5

2

− x

 

и f ′(x0 ) = −

5

 

 

= −

. Тогда имеем

 

1

2

+ x

5(4 − x2 )

5 4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

522 +−0,150,15 ≈1− 15 0,15 = 0,97.

Заметим, что вычисление с помощьюкалькулятора дает результат 0,9703.

Пример 6.31. Вычислите приближенно: а) arcsin 0,51; б) sin 46°.

 

 

 

Решение:

а)

Рассмотрим функцию f (x) = arcsin x .

Полагая

x = 0,51,

x0 = 0,5 ,

∆x = 0,01

и

 

применяя

 

приближенную

формулу

arcsin(x0 + ∆x) ≈ arcsin x0 + (arcsin x)′x=x ∆x, в результате получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin0,51 ≈ arcsin0,5 +

1

 

 

 

 

 

0,01

= π

+ 0,011 ≈ 0,513;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−0,52

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) выбираем f (x) = sin x , x = 46°,

x0 = 45°,

 

 

∆x =1°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем от градусов к радианам: x0 = 45π 180 =π 4, ∆x =π 180.

Проведем

вспомогательные

 

вычисления:

 

 

 

f (x0 ) = sin π 4 =

 

2,

 

 

 

2

f ′(x) = (sinx)′ = cos x,

f ′(x0 ) = cosπ 4 =

 

 

 

 

2.

 

Подставляя

 

все в

формулу

 

2

 

 

f (46π /180) = f (π / 4)

+ f (π / 4) π /180 , имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46π

 

π

 

 

π

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 46°= sin

 

= sin

 

+ cos

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

≈ 0,719.

 

 

 

 

4

4

180

 

2

 

 

2

 

180

 

 

 

 

 

 

180

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6.32. Найти приближенно площадь круга радиуса 3,02 м.

210

Решение.

Воспользуемся

формулой S =πR2. Полагая, что

R = 3, ∆R = 0,02,

имеем

∆S ≈ dS = 2πR ∆R = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Следовательно, приближенное значение площади круга составляет

9π + 0,12π = 9,12π ≈ 28,66 (м2 ).

Свойства дифференциала. Если u = f(x) и v = g(x) – функции,

дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала и правил вычисления производных вытекают следующие свойства:

1)

d(u + v)( = u) + v

′

dx = u

dx + v dx = du + dv ;

 

 

 

 

 

 

′

′

2)

d(uv) = (uv ) dx = u dx v +u v dx = v du +u dv

 

 

 

 

′

 

 

′

′

3)

d (Cu)= C du;

 

 

 

 

 

u

 

v du −u dv

 

 

4)

d

 

=

 

 

 

.

 

v2

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи

дифференциала. Дифференциал неявной функции. Пусть y = f (x) ,

x = g t ,

т.е. y = f (g(t)) = F(t)

– сложная функция. Тогда dy = F (t)dt

и также

 

′

 

dy = f ′(x) g′(t)dt = f ′(x)dx , т.е. форма записи первого дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-

то другой переменной. Поэтому полученное выражение называют

инвариантной формой записи первого дифференциала. Благодаря этому свойству можно непосредственно вычислить дифференциал неявной функции y = y(x), заданной равенством f (x, y) = 0.

Пример 6.33. Вычислить дифференциал неявной функции y = y(x), заданной равенством x2 + 2xy − y2 = a2.

Решение. Пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получим 2xdx + 2 (ydx +xdy) − 2ydy = 0. Выражаем dy :

dy = − xx +− yy dx.

211

Задачи для самостоятельного решения

6.50. Найти дифференциал первого порядка функции f (x) в данной точке a:

1)

f (x) =

 

x2

−9

 

,

a =4 ;

2)

f (x) =

arcsin x

,

a =0 ;

 

x2

+8

 

 

 

 

 

1− x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

3)

f (x) =

 

 

 

, a =0 ;

4)

f (x) = x

x2 −1

, a =1.

1+sin3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.51. Найти приращение функции у=х2, соответствующее приращению ∆x независимой переменной. Вычислить ∆y , если х=1 и ∆x =0,1; 0,01. Какова будет погрешность (абсолютная и относительная) значения ∆y , если ограничиться членом, содержащим ∆x в первой степени?

6.52. Найти приращение ∆V объема шара V при изменении радиуса R= 2 на ∆R . Вычислить ∆V , если ∆R = 0,5; 0,1; 0,01. Какова будет погрешность значения ∆V , еслиограничитьсячленом,содержащим ∆R впервойстепени?

6.53. Дана функция y = x3 + 2x. Найти значения приращения и его линейной главной части, соответствующие изменению хот х = 2 до х= 2,1.

6.54. Какое приращение получает функция

y = 3x2 при переходе независимой

переменной от значения х=1 к значению

х=1,02? Каково значение

соответствующей линейной главной

части?

Найти отношение второй

величины к первой.

6.55. Дана функция y = f (x). В некоторой точке х дано приращение ∆x = 0,2 ;

соответствующая

главная

часть

приращения

функции оказалась

равной 0,8. Найти производную в точке х.

 

 

6.56. Дана функции

f

(х)= х2 . Известно, что в некоторой точке приращению

аргумента ∆x =

0,2 соответствует

главная часть

приращения

функции

df (x) = − 0,8. Найти начальное значение аргумента.

 

6.57. Найти приращение и дифференциал функции у = х2 – х при

x =10 и

∆x = 0,1. Найтн

абсолютную

и относительную

погрешности,

которые

получаются при замене приращения дифференциалом. Сделать чертеж.

6.58.Найти приращение и дифференциал функции y = x при х =4 и ∆x = 0,41. Вычислить абсолютную и относительную погрешности.

212

6.59. Дана функция y = x3 − x .

При х = 2 вычислить ∆y и dy, придавая ∆x

значения ∆x =1;

0,1;

0,01. Найти соответствующие значения

относительной погрешности.

6.60.Найти графически (сделав чертеж на миллиметровой бумаге в большом масштабе) приращение, дифференциал и вычислить абсолютную и относительную погрешности при замене приращения дифференциалом

для функции y = 2x при х= 2 и ∆x = 0,4.

6.61. Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см. Найти гла вную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную погрешность (в процентах) при замене приращения его главной частью.

6.62. Известно, что при увеличении сторон данного квадрата на 0,3 см линейная главная часть приращения площади составляет 2,4 см2. Найти линейную главную часть приращения площади, соответствующую приращению каждой стороны на: а) 0,6 см; б) 0,75 см; в) 1,2 см.

6.63. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал:

а)

y = 3

x2 +5x,

x = t2 + 2t +1;

б)

s = cos2 z,

z = (t2 −1) 4;

в)

z = arctg y,

y =1 tg s;

 

г)

y = 3−1 x ,

 

x = ln tg s .

6.64. Найти дифференциал функции y(x), заданной неявно:

 

(x + y)2 (2x + y)3 =1;

 

y = e−xy ;

 

ln

 

= arctg

y

.

а)

б)

в)

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

6.65.Найти dy в точке (1, 2), если y3 − y = 6x2 .

6.66.Найти дифференциал dy :

1)

y = x

4 − x2

;

2)

y = ln

 

x2 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) y =

ln

 

x

 

 

;

 

 

 

3) y = 3

x + 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 2

 

1+ x2

 

 

 

 

y = xln

 

x +

 

 

;

5)

y =

1+ x2

arctg x ;

6)

 

x2 +3

 

213

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности