5.5. Сравнение бесконечно малых

α(x) = o(β(x)), x → x0 (читается: α(x) есть «о малое» от β(x) при x → x0 ).

168

x → x0 , т.е. β(x) = o(α(x)).

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при x → 0 :

sin x x, tg x x , arcsin x x , arctg x x ;

loga (1+ x) lnxa = xloga e , где a > 0, a ≠1, в частности ln(1+ x) x ; ax −1 xln a , где a > 0, в частности ex −1 x ;

(1+ x)m −1 mx .

Кроме того, имеет место следующий факт: если α(x) α1(x) , β(x) β1(x)

Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую, или одну из них, заменить эквивалентной бесконечно малой.

169

Пример 5.14. Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и

β(x) , если:

1)α(x) = x3 −6x4 +9x2 , β(x) = 5x4 − x2 , x0 = 0 ,

2)α(x) = xsin3 x , β(x) = 5x2 sin x , x0 = 0 ;

3)α(x) = (x −1)ln x , β(x) = (x −1)2 , x0 =1.

Решение: 1) найдем предел отношения

данных бесконечно малых функций является числом, отличным от нуля, следовательно, α(x) и β(x) есть бесконечно малые одного порядка при

x→ 0 ;

2)поступая так, как в пункте 1), находим

откуда следует вывод о том, что α(x) β(x) при x →1.

Пример 5.15. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, вычислить пределы:

2) замечая, что 6xarcsin x → 0 при x → 0 , получим цепочку эквивалентностей: ln(1+ 6xarcsin x) 6xarcsin x 6x2 , а также sin5x 5x , (ex −1) x , tg x2 x2 при x → 0 , поэтому

170

3) при x →1 имеем x2 −1→ 0 , поэтому ln x2 = ln(1+ (x2 −1)) x2 −1, отсюда получаем равенства

Задачи для самостоятельного решения

Сравнить бесконечно малые при x → x0 величины α(x) и β(x) , если

5.119. α(x) = x2 sin2 x , β(x) = xsin3 x , x0 = 0 .

5.120. α(x) = x3 − 4x , β(x) = x + x4 , x0 = 0 .

5.121. α(x) = (x −5)2 , β(x) = (x −5)3 , x0 = 5.

5.122. α(x) = sin(x −1)2 , β(x) = arcsin(x −1), x0 =1. 5.123. α(x) =1−cos x , β(x) = x22 , x0 = 0 .

5.124. α(x) = 4x −1, β(x) = 5x −1, x0 = 0 .

Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:

171

172