- •1.1. Матрицы. Операции над матрицами
- •1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы. Теорема о совместности системы линейных уравнений
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Совместное исследование уравнений прямых
- •3.4.1. Эллипс
- •3.4.2. Гипербола
- •3.4.3. Парабола
- •3.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5.1. Плоскость в пространстве
- •3.5.2. Уравнения прямой в пространстве
- •3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
- •3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •6.2. Дифференцирование функций
- •6.3. Дифференциал функции
- •6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •6.6. Основные свойства дифференцируемых функций
- •6.7. Исследование функций
- •6.8. Предельный анализ в экономике
- •Ответы
- •Литература
5.4. Замечательные пределы
|
Первый замечательный предел: |
lim sin x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Второй замечательный предел: |
|
|
= lim |
(1 |
+ y) = e. |
|
|||||
|
lim 1+ |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
x→∞ |
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
||
Пример 5.12. Вычислить следующие пределы:
1) |
lim sinαx , |
α R ; |
2) |
lim sin 2x |
; |
3) lim tg x |
; |
|
||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 sin3x |
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
4) |
lim arcsin x |
; |
|
5) |
lim |
cos x |
|
; |
6) lim |
|
3x + 2 |
5x−1 . |
||
|
2x −π |
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
x→∞ |
3x + 7 |
|
|||
Решение: 1) |
имеем неопределенность вида |
0 |
. Умножим числитель |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
и знаменатель дроби на число α , чтобы воспользоваться первым
замечательным пределом: |
lim sinαx |
= lim |
α sinαx =α lim sinαx |
. Произведя |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
|
αx |
|
|
x→0 αx |
|
||||||
в |
последнем |
|
выражении |
|
|
замену |
|
|
y =αx , |
получим |
||||||||||||||
α lim sinαx =α lim sin y |
=α . Итак, lim sinαx |
|
=α ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
αx |
|
y→0 |
y |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) опять |
имеем |
неопределенность |
вида |
0 . |
Разделим |
числитель и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
знаменатель дроби на |
|
x , после чего воспользуемся результатом пункта 1) |
||||||||||||||||||||||
данного примера: lim sin 2x |
|
|
|
sin 2x |
|
lim sin 2x |
|
|
2 ; |
|
||||||||||||||
= lim |
x |
|
= |
x→0 |
|
|
x |
|
= |
|
||||||||||||||
sin3x |
|
|
|
sin3x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 sin3x |
x→0 |
|
lim |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||||
|
3) lim tg x |
= 0 |
= lim |
|
1 |
|
sin x = lim |
|
1 |
lim sin x =1 1 =1; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 x |
0 |
|
x→0 cos x |
|
|
x |
|
x→0 cos x |
x→0 |
x |
|
||||||||||||
|
4)сделаем замену arcsin x = y . Тогда x = sin y и y → 0 при x → 0 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
arcsin x |
|
0 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому lim |
|
x |
= |
0 |
= lim |
|
|
|
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
y→0 sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
164
5) |
π |
|
и 2x −π = −2 |
π |
|
→ 0 при x → |
π |
, |
||
замечая, что cos x = sin |
2 |
− x |
|
2 |
− x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сделаем замену π2 − x = t , чтобы свести предел к первому замечательному:
lim |
cos x |
|
0 |
|
= lim |
sint |
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
= − |
|
; |
|||
2x −π |
0 |
−2t |
2 |
|||||||
x→0 |
|
|
t→0 |
|
|
6) здесь имеет место неопределенность вида 1∞ . Сведем данный предел ко второму замечательному пределу:
|
3x + 2 5x−1 |
|
|
3x + 2 |
|
5x−1 |
|
|
|
+ |
3x + 2 −3x −7 5x−1 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
+ 7 |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
3x + 7 |
−1 |
|
|
= lim 1 |
|
|
3x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→∞ 3x |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+7 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+7 |
|
−5 |
(5x−1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
5x−1 |
|
|
|
−5 |
|
|
|
(5x−1) |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
3x+7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
3x+7 |
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
3x +7 |
x→∞ |
|
3x +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражение |
|
|
−5 |
имеет своим |
пределом |
ноль |
при |
x → ∞, |
поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||
3x + 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
3x+7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
−25x +5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x −1) = lim |
|
|
|||||||||||||||
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
далее, |
что |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
3x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
+ 7 |
|
||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 3x + 7 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||||||
= − |
25 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 5x−1 |
|
|
− |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
окончательно получаем lim |
|
|
|
|
|
= e |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
3x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Полезно помнить часто используемые следствия из обоих замечательных пределов:
lim tg x |
=1; lim arcsin x =1; lim arctg x |
=1; |
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|||
lim |
loga (1+ x) |
= |
1 |
|
= loga e , где a > 0, a ≠1, в частности lim |
ln(1+ x) |
=1; |
||||||||
|
x |
|
|
ln a |
x |
||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
||||
lim |
ax −1 |
= ln a , где |
a > 0, в частности lim |
ex −1 |
=1; |
|
|
||||||||
x |
|
x |
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||
а также |
|
lim |
(1+ x)m −1 |
= m . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165
Пример 5.13. Вычислить следующие пределы:
1) lim ln(2 − x) −ln 2 |
; |
2) lim eαx −1 |
; |
3) lim eαx −eβx . |
|
|
|||
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
|
|
Решение: |
1) для |
данной |
неопределенности |
вида |
0 |
преобразуем |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
выражение, стоящее под знаком предела так, чтобы воспользоваться одним из следствий из второго замечательного предела:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
lim ln(2 − x) −ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
+ |
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
= lim |
2 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
после чего, обозначая − |
|
= t |
, получим равенства |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
+ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
lim ln(2 − x) −ln 2 = |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) lim |
eαx −1 |
|
|
0 |
=α lim |
eαx −1 |
= |
|
αx = y |
|
|
=α lim |
ey −1 |
=α . Здесь мы |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
= |
0 |
|
αx |
|
|
y → 0 |
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
||||||||||||||||
также воспользовались одним из следствий из второго замечательного предела;
|
3) для данной |
неопределенности |
вида |
0 |
справедливы |
равенства |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
lim eαx −eβx |
= limeβx |
e(α−β)x −1 |
= limeβx lim |
e(α−β)x −1 |
. |
Воспользовавшись далее |
|||||
|
|
||||||||||
x→0 |
x |
x→0 |
x |
x→0 |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
результатом |
пункта |
2) |
данного |
примера, |
|
|
окончательно |
получим |
|||
lim eαx −eβx |
=1 1 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы:
5.79. lim sin x ; |
|
||||||
x→0 tg9x |
|
||||||
5.81. lim |
1 |
−cos2x |
; |
||||
x→0 |
|
|
|
3x2 |
|
||
5.83. lim |
1 |
−cos5x |
; |
||||
x→0 |
1−cos3x |
|
|||||
5.85. lim |
|
|
|
x |
; |
||
3 |
|
|
|
||||
1+ x −1 |
|||||||
x→0 |
|
||||||
5.87. lim tg x −3sin x ;
x→0 x
5.89. lim 1−6x ;
x→0 1−ex
5.91. lim sin 2x ; x→0 ln(1+ x)
5.93. lim t( t a −1) , a > 0;
t→∞
5.95. lim x +8 x ; x→∞ x − 2
5.97. lim 2x2 +3 5x2 ; x→∞ 2x2 −3
1−x
5.99. lim (1− 4x) x ;
x→0
1
5.101. lim x x−2 ; x→2 2
5.80. lim sin2 2x ; x→0 arcsin2 3x
5.82. lim 1−cos6x ; x→0 3x tg3x
5.84. |
lim 1+ xsin x −cos x ; |
||||||||
|
x→0 |
|
sin2 x |
|
|
||||
|
|
|
−1 |
; |
|||||
5.86. lim |
|
1+ xsin x |
|||||||
|
|
x2 |
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||
5.88. lim lg(1+3x) |
; |
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
5.90. lim |
8x −7x |
; |
|
|
|
|
|||
6x −5x |
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||
5.92. |
lim sin3x −sin x |
; |
|
||||||
|
x→0 |
|
ln(x +1) |
|
|
||||
5.94. lim |
6x −3x |
; |
|
|
|
|
|||
x2 + x |
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3x −1 |
2x |
|
|
|||
5.96. lim |
3x +1 |
|
; |
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5x3 + 2 |
2x3−1 |
|||||
5.98. lim |
5x |
3 |
|
|
; |
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|||
5.100. lim x + a x+c ; x→∞ x +b
5.102. lim 2x 1+3x ;
x→0
167