Понятие функции

Предел функции

Односторонние пределы

Свойства пределов функций

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Понятие неопределенности

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Сравнение функций

Непрерывность функций в точке

Свойства непрерывных функций

Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва и их классификация

Свойства непрерывных на отрезке функций

§1. Предел функции

1.Понятие функции. Отражением факта, что многие из окружающих явлений взаимосвязаны и зависят друг от друга, в математике служит понятие функциональной зависимости величин. Математическую строгость понятию функции первыми придали Лейбниц, Бернулли.

Определение. Пусть Х и Y – заданные множества (X R, Y R). Если каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие один элемент y Y , то говорят, что задана функциональная зависимость у от х, или, по-другому, – задана функция у = f (х).

При этом х называют независимой переменной (аргументом), у - зависимой переменной, множество Х – областью определения, Y – областью значений функции. Часто функцию записывают символически f : X →Y .

Если переменные x X , y Y рассматривать как декартовы координаты на плоскости, то действительная функция f : X →Y действительного переменно х может быть изображена в виде графика.

Определение. Графиком функции у = f (х), x X , называется геометрическое место точек плоскости Оху вида

{(x, y), x X ; y = f (x)}

[абсциссы х которых принадлежат Х, а ординаты находятся из соотношения

у = f (х)].

Таким образом, задать функцию – это значит определить три ее элемента:

1)область определения Х;

2)область значений Y;

3)указать закон (правило, формулу, …) f , по которому каждому

значению аргумента х ставится в соответствие (вычисляется) значения зависимой переменной у из ее области значений Y.

Очевидным образом определяются понятия возрастающих, убывающих (строго, нестрого), монотонных, ограниченных функций (см. соответствующий раздел числовых последовательностей) .

Существуют различные способы задания функций: табличный,

графический, описательный, аналитический (т.е., в виде формулы), программный и др.

Простейшими элементарными функциями являются

1)y = xα , α R −степенная функция;

2)y = ax , a R, a ≠1, a > 0 −показательная;

3)y = loga x ;

4)тригонометрические;

5)обратные тригонометрические.

Из этих функций посредством арифметических операций можно образовать много других функций.

Еще один способ образовывать новые функции заключается в операции суперпозиции функций (или образование так называемой сложной функции). Если на некотором множестве Х определена функция z =ψ (x) с множеством

значений Z, а на Z – определена функция y = f (z) , то функция y = f (ψ (x)) называется суперпозицией функций (или сложной функцией)

Определение. Функции, полученные из простейших элементарных функций с помощью арифметических операций, а также путем суперпозиций этих функций составляют класс элементарных функций.

Лекция №10 Предел функции. Непрерывность функций проф. Дымков М.П. 78

Примеры (неэлементарных функций).

2. Понятие предела функции. Пусть функция у = f (х) определена на

некотором числовом множестве Х и точка x0 является предельной точкой этого множества, т.е. в любой ε - окрестности точки x0 содержатся точки множества

Х, x X , отличные от x0 , x ≠ x0 .

[ε - окрестностью точки x0 называется интервал (x0 −ε, x0 +ε)].

Из определения предельной точки следует, что сама предельная точка x0 может как принадлежать множеству Х, так и не принадлежать ему.

также образуют числовую последовательность, по отношению которой можно ставить вопрос о ее сходимости

Лекция №10 Предел функции. Непрерывность функций проф. Дымков М.П. 79

требуемое δ. Очевидно, можно взять δ = ε. Тогда для всех х: x −3 <δ =ε f (x) − A = x −3 <ε =δ .