Корольов / Теория связи

На вход демодулятора, кроме сигналов, прошедших среду, попадают также различные помехи. Демодулятор выделяет из смеси сигнала и помех последовательность, которая должна соответствовать последовательности на выходе кодирующего устройства. Однако из-за действия помех, влияния среды, погрешностей различных преобразований полное соответствие получить невозможно. Поэтому такая последовательность вводится в декодирующее устройство, которое выполняет операции по ее преобразованию в последовательность, соответствующую переданной. Полнота этого соответствия зависит от ряда факторов: корректирующих возможностей кодированной последовательности, уровня сигнала и помех, а также их статистики, свойств декодирующего устройства. Сформированная в результате декодирования последовательность поступает к получателю информации. Естественно, что при проектировании систем передачи информации всегда стремятся обеспечить такие условия работы, чтобы отличие информации, получаемой от источника, от информации, передаваемой получателю, было невелико и не превышало некоторой допустимой величины. В данном случае основным показателем качества передачи является достоверность передачи информации – степень соответствия принятого сообщения переданному [2, 21].

Основной принцип построения линейных кодов – отыскание процедур, которые позволяют получать все разрешенные кодовые комбинации C′ путем конечного числа несложных линейных преобразований исходных разрешенных комбинаций C , а при декодировании для обнаружения и исправления ошибок получать информацию об ошибках по результатам конечного числа относительно простых преобразований над символами получаемых кодовых комбина-

ций C′′ [23].

Основная задача оптимального построения корректирующего кода заключается в том, что из всех возможных кодовых комбинаций C′′ применяется лишь некоторая часть. Используемые при передаче кодовые комбинации C′ обычно называются разрешенными, а остальные – запрещенными. Следовательно, если под действием помехи передаваемая кодовая комбинация перехо-

171

дит в запрещенную, то такую ошибку можно обнаружить.

Чтобы получаемый код обладал наилучшей корректирующей способностью и минимальной вероятностью некорректируемых ошибок, необходимо выполнить следующие пять условий:

множество кодовых слов C′′ должно быть конечным;

любому сообщению из множества C источника соответствует кодовое слово из множества C′′;

множество C′′, должно иметь большую размерность, чем C ;

вкачестве кодового слова соответствующего сообщению используется не все множество возможных кодовых слов C′′, а лишь некоторая его часть C′ – множество разрешенных кодовых слов;

вканал должны передаваться только разрешенные кодовые слова из множества C′.

Правило, по которому сообщению из множества C ставится в соответствие кодовое слово из множества C′′, называется алгоритмом кодирования или кодом, корректирующим ошибки.

Рассмотрим следующий пример. Пусть множество C составляет 2 сообщения: 0 и 1, а множество C′′ составляет 8 кодовых слов: 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111.

В качестве разрешенных (множество C′) выбраны только 2 кодовые комбинации: 000 и 111.

При равновероятной передаче сообщений по каналам с независимыми ошибками, когда вероятность появления ошибок с увеличением кратности уменьшается, для минимизации средней вероятности ошибочного декодирования необходимо в первую очередь исправлять однократные ошибки как наиболее часто встречающиеся, затем двукратные и т.д. При этом декодер из множе-

ства кодовых комбинаций ′′ выделяет кодовые комбинации ~ , которые отли-

C C

чаются от C′ в меньшем числе символов. Соответственно декодер принимает решение оптимальное по критерию максимума правдоподобия [5, 23].

Правило, по которому кодовому слову из множества C′′ ставится в соот-

172

ветствие сообщение из множества С~ , называется алгоритмом декодирования. Избыточный код дает возможность обнаружить, в каких принятых сим-

волах имеются ошибочные символы. Кроме того, при разумном выборе кода вероятность не обнаруживаемой ошибки (т.е. ошибки, которая переводит разрешенную кодовую комбинацию в другую разрешенную кодовую комбинацию) может быть весьма малой.

5.1.2. Классификация кодов

Классификация рассматриваемых в данной главе методов кодирования приведена на рис. 5.2. Эта классификация не является исчерпывающей, в нее включены лишь некоторые методы, которые широко используются в современных системах связи.

Коды можно разделить на две самостоятельные группы. К первой относятся коды, использующие все возможные комбинации – неизбыточные коды. В литературе их еще называют простыми, или первичными. Ко второй группе относятся коды, использующие лишь определенную часть всех возможных комбинаций, такие коды называются избыточными. Оставшаяся часть комбинаций используется для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче сообщений. В этих кодах количество разрядов кодовых комбинаций можно условно разделить на определенное число разрядов, предназначенных для информации (информационные разряды), и число разрядов, предназначенных для коррекции ошибок (проверочные разряды).

Обе группы кодов, в свою очередь, подразделяются на равномерные и неравномерные. Равномерные коды – это коды, все кодовые комбинации которых содержат постоянное количество разрядов. Неравномерные коды содержат кодовые комбинации с различным числом разрядов. Ввиду того что неравномерные избыточные коды не нашли применения на практике из-за сложности их технической реализации, в дальнейшем их рассматривать не будем.

Все корректирующие (избыточные) коды делятся на два больших класса: блочные и непрерывные коды (рис. 5.2).

173

ции на информационные и проверочные символы. К ним относятся коды с постоянным весом и коды Плоткина [2].

Разделимые блочные коды, в свою очередь, делятся на несистематические и систематические. Наиболее многочисленный класс разделимых кодов составляют систематические коды. Основная их особенность в том, что проверочные символы образуются как линейные комбинации информационных символов. К систематическим кодам относятся коды с проверкой на четность, коды с повторением, корреляционный, инверсный, коды Хэмминга, Голея, Рида-Маллера, Макдональда, Варшамова, с малой плотностью проверок на четность, итеративный код [2].

В несистематических кодах проверочные символы представляют собой суммы подблоков с l разрядами, на которые разделена последовательность информационных символов. К этим кодам относятся коды Бергера.

Разновидностью систематических кодов являются циклические коды. Кроме всех свойств систематического кода, циклические коды имеют следующее свойство: если некоторая кодовая комбинация принадлежит коду, то получающаяся путем циклической перестановки символов новая комбинация также принадлежит данному коду. К наиболее известным циклическим кодам относятся простейшие коды, коды Хэмминга, Боуза-Чоудхури-Хоквингема, мажоритарные, коды Файра, Абрамсона, Миласа-Абрамсона, Рида-Соломона, компаундные коды.

Отличительной особенностью непрерывных кодов является то, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. Здесь процессы кодирования и декодирования не требуют деления кодовых символов на блоки.

5.1.3. Основные характеристики и свойства блочных кодов

При блочном кодировании сообщениям источника ставится в соответствие M P разрешенных кодовых слов длиной n , где M P = mk , m – основание кода,

175

k – количество информационных символов. Общее число возможных кодовых комбинаций (алфавит) определятся M = mn . Блочный код обозначается ( n, k ).

Скоростью блочного кода называется отношение длины последовательности

i=0

Расстоянием Хэмминга между двумя кодовыми словами называется число одноименных разрядов, в которых эти слова отличаются друг от друга:

d (C1 ,C 2 )= ∑n−1 (ci1 ci2 ),

i=0

где – операция сложения по модулю два;

C1 = (c1 ,c1,c1 ,...,c1− );

0 1 2 n 1

C 2 = (c2 ,c2 ,c2 ,...,c2− ).

0 1 2 n 1

Пользуясь расстоянием Хэмминга как метрикой, можно определить корректирующие способности кода.

Можно показать, что для обнаружения в кодовом слове произвольной комбинации из s ошибок, необходимо и достаточно, чтобы расстояние Хэмминга для любых двух разрешенных кодовых слов было на 1 больше, чем число s обнаруживаемых ошибок:

dmin (C1 ,C2 )= s +1.

Для исправления t ошибок, необходимо и достаточно, чтобы dmin (C1,C2 )= 2t +1 . Исправление ошибок происходит по правилу: если принята запрещенная комбинация, то считается переданной ближайшая разрешенная комбинация. При этом будут исправлены все ошибки кратности: t ≤ (d −1)2 .

Для того чтобы исправить t и обнаружить s ошибок в кодовом слове, не-

176

обходимо и достаточно, чтобы dmin (C1 ,C 2 )= 2t + s +1.

5.2. Эффективность помехоустойчивого кодирования

При проектировании систем передачи информации оценка достоверности обмена информацией определяется вероятностью искажения двоичного символа передаваемого сообщения

Для двоичной последовательности, содержащей n символов, при безызбыточном кодировании вероятность правильного приема последовательности:

Использование избыточных кодов позволяет исправлять или обнаруживать в зависимости от кодового расстояния ошибки той или иной кратности. При независимых ошибках вероятность появления кратных ошибок определяется по формуле Бернулли:

pош(i, n)=Cni pошi (1− pош)n −i ,

где i =1,2,3,... – кратность ошибок.

5.2.1. Эффективность кода в режиме исправления ошибок

Для кодов, исправляющих ошибки кратности до t , вероятность исправле-

Прием кодовых слов в режиме исправления ошибок в общем случае может сопровождаться следующими ситуациями:

177

кодовое слово принято без ошибок, вероятность этого события pпр (n);

кодовое слово принято с ошибкой, причем pош (n)=1− pпр (n);

кодовое слово принято с ошибкой, которая исправляется с вероятностью

pисп ;

кодовое слово принято с ошибкой, которая не исправляется данным кодом, вероятность этого события pни .

Поскольку:

pош (n)= pисп + pни .

то вероятность появления неисправляемых ошибок:

pни = pош (n)− pисп .

Используя формулы (5.1) и (5.2), получим выражение для определения вероятности появления неисправляемых ошибок в канале без памяти:

тельности длиной n при передаче информации с помощью кода, исправляющие t – кратные ошибки в дискретном симметричном канале без памяти (ДСКБП).

Для каналов с памятью эта формула имеет вид:

где α – коэффициент группирования ошибок.

Для коротковолновых радиолинии α = 0,3...0,4 ; для радиорелейной линии

α = 0,3...0,5 ; для проводных линий связи α = 0,5...0,7 .

5.2.2. Эффективность кода в режиме обнаружения ошибок

В каналах с обратной связью помехоустойчивые коды используются в режиме обнаружения ошибок. В таких каналах осуществляется запрос повтор-

178

ной передачи кодовых комбинаций (или слов), принятых с ошибкой.

Для кодов, используемых в режиме обнаружения ошибок, характерны следующие ситуации:

кодовое слово принято без ошибок, с вероятностью pпр (n);

кодовое слово принято с ошибкой, которая обнаруживается, вероятность такого события pоо ;

кодовое слово принято с ошибкой, которая с вероятностью pно не обна-

руживается, при этом:

pош (n)= pоо + pно .

Поскольку искаженные комбинации, которые обнаруживаются декодером, получателю не выдаются, то вероятность получения ошибочных комбинаций получателем оценивается только как pно .

При использовании кода в режиме обнаружения вероятность такого со-

где Wi – весовая характеристика кода, которая указывает число кодовых ком-

бинаций с весом i в коде, в которых не обнаруживается ошибка.

Для кодов Хэмминга данная характеристика определяется выражением:

Для каналов с памятью формула (5.5) примет вид:

179

5.2.3. Эффективность помехоустойчивых кодов

Под эффективностью помехоустойчивого кода понимается отношение вероятности ошибки в элементе кодовой комбинации безизбыточного кода к вероятности ошибки на выходе декодера канала (в режиме исправления или обнаружения ошибок) для каналов с памятью и без памяти:

Известно (5.1), что вероятность ошибки в кодовой комбинации длиной n при безизбыточном кодировании:

pош(n)=1−(1− pош)n .

Вероятность ошибочного приема, на один элемент, на выходе декодера в режиме исправления ошибки, соответственно для каналов ДСКБП (5.3) и каналов с памятью (5.4) составляет:

рДК(и)≈ рnни .

Врежиме обнаружения ошибки для каналов ДСКБП (5.6) и каналов с па-

мятью (5.7):

рДК(о)≈ рnно .

Таким образом, с использованием ранее полученных выражений для ДСКБП:

Для канала с памятью:

180